高三第二次月考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1．设M={－1，0，1}，N={－2，－1，0，1，2}，对于M的所有元素x，使x+f(x)均为偶数，则从M到N的映射f的个数是（ ）
A．7 B．12 C．0 D．以上都不对
2．设全集I={(x,y)x,y∈R}，集合P={(x,y)y=x2+2bx+1}，Q={(x,y)y=2a(x+b)}，S={(a,b)P∩Q=
}，则S的面积是（ ）
A．1 B．
C．4 D．2
3．定义在R上的函数f(x)不是常数函数，且满足f(x－1)=f(x+1)，f(x+1)=f(1－x)则f(x)（ ）
A．是奇数也是周期函数 B．是偶函数也是周期函数
C．是奇函数但不是周期函数 D．是偶函数但不是周期函数
4．已知f(x)=ax (a>0且a≠1) f－1(2)<0，则f－1(x+1)的图象是（ ）
5．在数列{an}中，a1, a2, a3, 成等差数列，a2, a3, a4 成等比数列，a3, a4, a5 的倒数成等差数列，则a1, a3, a5是（ ）
A．等差数列 B．等比数列
C．三个数的倒数成等差数列 D．三个数的平方成等比数列
6．等差数列{an}中，Sn是前n项和，且S3=S8，S7=SK，则K为（ ）
A．4 B．11 C．2 D．12
7．函数y=f(x) x∈[a，b] A={(x, y) y=f(x) x∈[a，b]}，B={(x, y ) x=1}，则A∩B中所含元素的个数（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．0、1或2
8．a1=3, a2=6且an+2=an+1－an，则a2003=（ ）
A．－3 B．3 C．－6 D．6
9．在等差数列{an}中，满足3a4=7a7且a1>0, Sn是数列{an}的前n项和，若Sn取得最大值，则n等于（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．已知奇数f(x)和偶函数g(x)满足：f(x)+g(x)=ax－a－x+2且g(b)=a, 则f(a)的值为（ ）
A．a2 B．2 C．17/4 D．15/4
11．定义在R上的函f(x)是增函数A（0，－1） B（3，1）是其图象上的两点那么不等式f(x+1)<1的解集为（ ）
A．
B．（－1，2） C．
D．
（2，+∞）
12．某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发的时间，则下列四个图形中符合该学生走法的可能是（ ）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
13．集合M={(x, y)xy=1 x>0} ，在映射f：M→N作用下，点(x, y)的象为(log2x, log2y)，而N恰为象的集合，则N={(x, y) }
14．在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19－n(n<19 n∈N+)成立，类比上述性质，相应地在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式
15．设函数f(n)=k（其中n∈N+），k是的小数点后的第n位数字，=3.…则
=
16．给出下列函数
（1）函数y=ax (0<a且a≠1)与函数y=logaax (a>0且a≠1)的定义域相同
（2）函数y=x3与函数y=3x的值域相同。
（3）函数
与函数
均是奇函数.
（4）使函数
在区间（－2，+∞）上为增函数的a的范围是
则正确命题的序号为
三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知关于x的方程x=ax+1有一个负根而且没有正根
求a的取值范围（本小题十二分）
18．设A={x 1<x<3}，又设B是关于x的不等式组
的解集，试确定a，b的取值范围使A
B（本小题十二分）
19．数列{an}中，相邻两项an, an+1是方程x2+3nx+bn=0的两根，已知a10=－17
求：b51的值（本小题十二分）
20．设f(x)是定义在[－1，1]上的偶函数，f(x)与g(x)的图象关于x－1=0对称，且当x∈[2，3]时，g(x)=a(x－2)－2(x－2)3 (a为常数)
（1）求f(x)的解析式
（2）若f(x)在[0，1]上是增函数，求实数a的取值范围
（3）若a∈（－6，6），问能否使f(x)的最大值为4（本小题十二分）
21．在对口脱贫活动中，为了尽快脱贫（无债务）致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息），在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价每件14元；②该店月销售量Q（百件）与销售价格P（元）的关系如图；③每月需要各种开支2000元
（1）试问为使该店至少能够维持职工生活，商品价格应控制在何范围内？
（2）当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费后的余额最大并求最大余额
（3）企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？（本小题十二分）
22．已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a,b∈R都满足：f(a·b)=af(b)+bf(a)
I．求f(0)、f(1)的值
II．判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；
III．F(2)=2，
(n∈N*)，求数列{un}的前n项的和Sn（本小题十四分）
高三参考答案数学（理科）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | B | B | A | B | A | C | C | C | D | B | D |
二、填空题
13．x+y=0 14．b1b2…bn=b1b2…b17－n (n<17) 15．1 16．①、③
三、解答题
17．原方程化为
令
令y=a，它的图象为平行于x轴的直线
当a≥1时，两函数图象交点在y轴的左侧 ∴方程有一个负根无正根
当a≤－1时，两函数图象交点在y轴的右侧 ∴方程有一个正根无负根
当－1<a<1时，两函数图象交点在y轴的左右侧各有一个交点 ∴方程有一个正根一负根
综上：a≥1时原方程有一负根且没有正根
18．设f(x)=x2－2x+a， g(x)=x2－2bx+5
要使AB则必须使f(x)与g(x)在[1，3]上的图象均在x轴下方（含x轴），则应满足
即 
∴a≤－3 b≥3
19．∵an+an+1=－3n
∴an+2－an=(an+2+an+1)－(an+1+an)=－3(n+1)－(－3n)=－3
∴a1, a3,…, a2n+1和a2, a4, …, an都是公差为－3的等差数列
∴a52=a10+21(－3)=－80
a51=a11+20(－3)
∵a10+a11=－30 ∴a11=－13
∴a51=－73
b51=a51·a52=5840
20．（1）∵f(x)与g(x)图象关于直线x－1=0对称 ∴f(x)=g(2－x)
∴当x∈[－1，0]时，2－x∈[2，3]
∴f(x)=g(2－x)=－ax+2x3
又∵f(x)是偶函数 ∴x∈[0，1]时，－x∈[－1，0]
∴f(x)=f(－x)=ax－2x3
|
（2）f′(x)=a－6x2 ∵f(x)为[0，1]上的增函数 f′(x)=a－6x2≥0
∴a≥6x2在 x∈[0，1]上恒成立
∵x∈[0，1]时6x2≤6 ∴a>6 即a∈
（3）∵f(x)为偶函数 ∴只需考虑x∈[0，1]，由f′(x)=0
∴
由
∴a=6 此时x=1
∴当a∈（－6，6）时 f(x)最大值不可能为4
21．解：（1）设该店月利润余额为L，则由题设，得
L=Q（P－14）×100－3600－2000 ①
由销售图，易得：
Q=
代入①式得，
L=
（1）当14≤P≤20时，由L≥0，得18≤P≤20，当20≤P≤26时，由L≥0，得20<P≤22
故商品销售价格应控制在18≤P≤22内
（2）18≤P≤20时，L最大=450（元），这时P=19.5元，当20≤P≤22时，L最大=416
（元），此时P=20
元，故当P=19.5元时，月利润余额最大为450元
（3）设可在n年内脱贫，依题意，
有12n×450－50000－58000≥0，解得n≥20
即最早可望在20年后脱贫
22．（I）f(0)=f(0·0)=0·f(0)+0·f(0)=0
f(1)=f(1·1)=1·f(1)+1·f(1)
得f(1)=0
(II) f(x)是奇函数
证明：因为f(1)=f[(－1)2]=－f(－1)－f(－1)=0，所以f(－1)=0，
f(－x)=f(－1·x)=－f(x)+xf(－1)=－f(x)因此，f(x)为奇函数
（III）由f (a2)= af(a) + af (a)= 2af (a)
f (a3)= a2f (a) + af (a2)= 3a2f (a)
猜侧f (an)= nan－1f (a)
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，f (a1) =1·a0·f(a)，公式成立；
②假设当n=k时，f(ak) =kak－1f(a)成立
那么当n=k+1时f (ak+1) =akf (a)+ af (ak)=akf (a)+kakf (a)
=(k+1)akf (a)，公式仍成立
由上两步可知，对任意n∈N*， f (an)=nan－1f (a)成立
所以=
， 因为f（2）=2，
f（1）=
所以
（n∈N*）
因此
（n∈N*）