高考数学仿真试题（一）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知直线l1:x+ay+1=0与直线l2:x－2y+2=0垂直，则a的值为
A．2
B．－2 C．－
D．
2．函数y=sin（
x+θ）cos（x+θ）在x=2时有最大值，则θ的一个值是
A．
B． C．
D．
3．已知直二面角α—l—β，A∈α，B∈β，AB⊥l，AB=6，则线段AB的中点到l的距离为
A．1 B．2 C．3 D．不能确定
4．已知等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7·a14的最大值为
A．25 B．50 C．100 D．不存在
5．设函数f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，若f（2）=1，f（1）=a，则
A．a=2 B．a=－2 C．a=1 D．a=－1
6．已知一个简单多面体的各个面都是三角形，则顶点数V与面数F满足的关系是
A．2V+F=4 B．2V－F=4 C．2V+F=2 D．2V－F=2
7．若函数y=sin（x+
）+2的图象按向量a平移后得到函数y=sinx的图象，则a等于
A．（－，－2） B．（，2）
C．（－，2） D．（，－2）
8．6名同学排成两排，每排3人，其中甲排在前排的概率是
A．
B．
C．
D．
9．如果直线ax+by=4与圆C：x2+y2=4有两个不同的交点，那么点（a，b）和圆C的位置关系是
A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．不能确定
10．函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的定义域分成四个单调区间的充要条件是
A．a>0且b2－4ac>0 B．－
>0
C．b2－4ac>0 D．－<0
11．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱AB的中点，则直线C1E与平面ACC1A1所成角的正切值为
A．
B．
C．
D．
12．已知椭圆
+y2=1（a>1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，则PF1·PF2的值为
A．1
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上）
13．若（3a+b）n的展开式的系数和等于（x+y）8的展开式的系数和，则n=______．
14．过曲线y=x3－x上点（1，0）的切线方程的一般式是______．
15．已知函数f（x）=2sinωx（ω>0）在［0，］上单调递增，则ω的取值范围是______．
16．对于任意定义在R上的函数f（x），若存在x0∈R满足f（x0）=x0，则称x0是函数
f（x）的一个不动点．若函数f（x）=x2+ax+1没有不动点，则实数a的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）甲、乙两名篮球运动员，甲投篮的命中率为0.6，乙投篮的命中率为0.7，两人是否投中相互之间没有影响，求：
（1）两人各投一次，只有一人命中的概率；
（2）每人投篮两次，甲投中1球且乙投中2球的概率．
18．（本小题满分12分）已知函数f（x）=log2（x+m），且f（0）、f（2）、f（6）成等差数列．
（1）求实数m的值；
（2）若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c成等比数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论．
19．（本小题满分12分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且
，
（1）求角A的度数；
（2）若a=
，b+c=3，求b和c的值．
20．（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1中，过BC1的平面BC1D∥AB1，平面BC1D交AC于D．
（1）求证BD⊥平面ACC1A1；
（2）若二面角C1—BD—C等于60°，求平面BC1D与平面BCC1B1所成二面角的大小．（结果用反三角函数表示）
21．（本小题满分12分）如图，点F（a，0）（a>0），点P在y轴上运动，M在x轴上，N为动点，且
0．
（1）求点N的轨迹C的方程；
（2）过点F（a，0）的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设点K（－a，0），
与
的夹角为θ，求证：0<θ<
．
22．（本小题满分14分）已知a≥，f（x）=－a2x2+ax+c．
（1）证明对任意x∈［0，1］，f（x）≤1的充要条件是c≤
；
（2）已知关于x的二次方程f（x）=0有两个实根α、β，证明：α≤1且β≤1的充要条件是c≤a2－a．
参 考 答 案
一、1．D 2．A 3．C 4．A 5．D 6．B 7．D 8．B 9．A 10．C 11．C 12．C
二、13．4 14．2x－y－2=0 15．（0，
16．（－1，3）
三、17．（1）P1=0.6（1－0.7）+（1－0.6）0.7=0.46． 6分
（2）P2=［
0.6（1－0.6）］·［
（0.7）2（1－0.7）0］=0.2352． 12分
18．（1）由f（0）、f（2）、f（6）成等差数列，
可得2log2（2+m）=log2m+log2（6+m），
即（m+2）2=m（m+6）且m>0，解得m=2． 6分
（2）由f（x）=log2（x+2），可得2f（b）=2log2（b+2）=log2（b+2）2，
f（a）+f（c）=log2（a+2）+log2（c+2）=log2［（a+2）（c+2）］， 8分
∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac， 9分
又a、b、c是两两不相等的正数，
故（a+2）（c+2）=ac+2（a+c）+4>ac+4
+4=b2+4b+4=（b+2）2， 10分
∴log2［（a+2）（c+2）］>log2（b+2）2，即f（a）+f（c）>2f（b） 12分
19．（1）由已知得2［1－cos（B+C）］－（2cos2A－1）=
， 2分
∵cos（B+C）=－cosA， 3分
∴4cos2A－4cosA+1=0，
∴（2cosA－1）2=0，即cosA=． 5分
∴A=60°． 6分
（2）∵a2=b2+c2－2bccosA=b2+c2－bc=（b+c）2－3bc，
∵a=，b+c=3， 8分
∴3=9－3bc，∴bc=2， 10分
由
解之得
或
． 12分
20．（1）连结B1C交BC1于O，则O是B1C的中点，连结DO，
∵AB1∥平面BC1D，AB1
平面AB1C，
平面AB1C∩平面BC1D=DO，
∴AB1∥DO， 3分
∴D是AC的中点，
∵△ABC是正三角形，∴BD⊥AC，
∵平面ACC1A1⊥平面ABC，
∴BD⊥平面ACC1A1． 6分
（2）∵CC1⊥平面ABC，且CD⊥BD，
∴C1D⊥BD，
∴∠C1DC是二面角C1—BD—C的平面角， 8分
∴∠C1DC=60°，
设正三棱柱底边长为2，则DC=1，CC1=，
作DE⊥BC于E，
∵平面BCC1B1⊥平面ABC，
∴DE⊥平面BCC1B1，
作EF⊥BC1于F，连结DF，则DF⊥BC1，
∴∠DFE是平面BC1D与平面BCC1B1所成二面角的平面角， 10分
在Rt△DFE中，DE=
，
在Rt△DFE中，EF=BE·sinC1BC=
，
∴tanDFE=
，
∴平面BC1D与平面BCC1B1所成二面角的大小为arctan
． 12分
21．（1）（方法一）设N（x，y），∵
=0，即P是MN的中点，
∴M（－x，0），P（0，
）， 2分
∵
=0，∴PM⊥PF， 4分
∴
=－1，
∴y2=4ax即为所求． 6分
（方法二）设N（x，y），M（x0，0），P（0，y0）
则
2分
由
·
=0，得ax0+y02=0， ①
由
+=0，得（x+x0，y－2y0）=0， 4分
即
∴
代入①得，y2=4ax即为所求． 6分
（2）设l的方程为y=k（x－a），
由
消去x，得y2－
y－4a2=0， 8分
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=－4a2， 9分
=（x1+a，y1），=（x2+a，y2）， 10分
·=（x1+a）（x2+a）+y1y2=x1x2+a（x1+x2）+a2+y1y2
=
+a2－4a2
=
（y12+y22）－2a2>（2y1y2）－2a2
=×4a2－2a2=0，
∴cosθ=
>0，
∴0<θ<． 12分
22．（1）f（x）=－a2（x－
）2+c+，
∵a≥，∴∈（0，1，
∴x∈（0，1时，［f（x）］max=c+， 2分
若c≤
，则f（x）≤［f（x）］max=c+≤1， 4分
若f（x）≤1，则［f（x）］max=c+≤1，即c≤，
∴对任意x∈［0，1］，f（x）≤1的充要条件是c≤． 6分
（2）（方法一）方程－a2x2+ax+c=0的两根为
，8分
不妨设
，其中1+4c≥0，若c≤a2－a，
则1+4c≤4a2－4a+1=（2a－1）2，
∵2a－1≥0，∴
≤2a－1，
即0<
≤1，即α≤1， 9分
又1－≥1－（2a－1）=2－2a>－2a，
∴
>－1，
又∵≤
≤1，
∴β≤1． 10分
若α≤1，且β≤1，
∴≤1，且≥－1，
∵2a≥1，
∴≤2a－1，且≤2a+1， 12分
∴≤2a－1，
即c≤a2－a， 13分
∴α≤1且β≤1的充要条件是c≤a2－a． 14分
（方法二）∵a≥，∴∈（0，1
［－1，1］ 8分
又抛物线开口向下，
∴
f（x）=0的两根在［－1，1］内， 10分
12分
14分