高考数学模拟冲刺卷(A)-高中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-高中数学试卷-试卷下载

高考数学模拟冲刺卷(A)

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(试卷总分:150分考试时间:120分钟)

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、　　　　　 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.已知x∈( - , 0 ),cosx=,则tan2x=　　　　　　　　　　　　　　　　（　　　）

A.　　　 B.-　　　　C.　　 D-

答案：C（提示：由cosx=,x∈( - , 0 ), 得sinx= -,∴tanx= -,∴tan2x==,选C）

2.设集合M=｛x｜x²-x＜0,x∈R,N=｛x｜｜x｜＜2,x∈R，则　　　　　　（　　）

A. N M　　　B. M∩N=M　　 C. M∪N=M　　　D. M∪N=R

答案：B（提示：M=｛x｜0＜x＜1﹜,N=｛x｜-2＜x＜2﹜,∴M∩N=M,选B

3. 已知多项式16x⁴+32x³+24x²+8x+1能被5整除，则满足条件的最小自然数x的值为（　　）

A. 7　　　　 B. 4　　　　 C. 2　　　　 D. 1

答案：C（提示：16x⁴+32x³+24x²+8x+1=(2x+1)⁴,显然x=2满足题中条件，选C）

4. 已知一个简单多面体的各个面都是三角形，则顶点数V与面数F满足的关系是　（　　）

A. 2V-F=4　　　B. 2V+F=4　　　C. 2V+F=2　　　 D. 2V-F=2

答案：A（提示：由欧拉公式得V+F-E=2，又由3F=2E解得E=F代入前一式得2V-F=4,选A）

5. 一动圆圆心在抛物线x²=2y上，过点（0，）且恒与定直线l相切，则直线l的方程（　　）

A. x=　　　 B. x=　　　 C. y= －　　　　D. y= －

答案：C（提示：抛物线x²=2y的焦点坐标为(0, ), 由抛物线的定义知抛物线上任意一点到焦点F(0, )的距离等于到直线y=－的距离,故选C）

6. 已知, ,为任意非零向量，有下列命题：①｜｜=｜｜,②²=²,

③·(－ )=0,其中可作为=的必要不充分的条件是　　　　　（　　）

A. ①②　　　 B.②③　　　　C. ①②③　　　　　 D. ①

答案：C（提示：由 =能推导出①、②、③成立，但｜｜=｜｜, ²=²由于方向不一定同向，故不能推出=; 只要与 - 垂直就有·(－)=0,也不一定推出=,所以①、②、③都是=的必要不充分条件，选C）

7. 已知a,b,c是空间三条直线，α、β是两个平面，下列命题中不正确的是　（　　）

A. 若a∥b,b∥α,则a∥α或aα

B. 若a⊥α,b⊥β,α∥β,则a∥b

C. 若a∥b,α∥β,则a与α所成角等于b与β所成的角

D. 若a⊥b,a⊥c,则b∥c

答案：D（提示：当a⊥b，b⊥c时，b与c可以是异面、平行或相交，选D）

8. （理）一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：

第1行	1
第2行	2　 3
第3行	4　 5　 6　 7
…	…

则第9行中的第4个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A. 132　　　　B. 255　　　 C. 259　　　　 D. 260

答案：C（提示：由数表知表中各行数的个数构成一个以1为首项，公比为2的等比数列，前8行数的个数共有=255个，故第9行中的第4个数是259，选C）

8．（文）将数列{3ⁿ^－1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第100组中的第一个数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　）

A．3⁴⁹⁵⁰　 B．3⁵⁰⁰⁰　　C． 3⁵⁰¹⁰　　D．3⁵⁰⁵⁰

答案：A（提示：由“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，公差为1的等差数列，前99组数的个数共有=4950个，故第100组中的第1个数是3⁴⁹⁵⁰，选A）

9. 两条直径把圆面分成为四部分（如右图），现用4种颜色涂这四个区域，相邻区域不同色的涂法共有（　）种　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　）

A. 32　　　 B. 84　　　 C. 86　　　　D. 88

答案：B（提示：法一　分三类：用四种颜色去涂有A=24；用三种颜色去涂，则相对的两个区域涂同一色，于是有C×C×C×A=48；用两种颜色去涂有C×A=12;所以总共有24+48+12=84种，选B

法二　分两类：Ⅰ号与Ⅳ号区域涂同一色有C×C×C=36；Ⅰ号与Ⅳ号区域涂不同色有C×A×C×C=48；所以总共有84种，选B）

10. 在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括周界），目标函效z=2x-ay取得最大值的最优解有无数个，则a的一个可能值为　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A. –2　　　 B. 2　　　 C. –6　　　　D. 6

答案：A（提示：要使目标函数z=2x-ay取得最值的最优解有无数个，则必须直线2x-ay-z=0与可行域边界线段AB或BC或AC重合，显然不可能与AB重合，由斜率有=或-1得a=6或a=-2. 当a=6时，直线2x-ay-z=0与AC重合，此时z有最小值-4；当a=-2时，直线2x-ay-z=0与BC重合，此时z有最大值12，选A）

11. 已知O为ΔABC所在平面内一点，满足｜｜²+｜｜²=｜｜²+｜｜²=

｜｜²+｜｜²,则点O是ΔABC的　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　）

A. 外心　　 B. 内心　　　 C. 垂心　　　　D. 重心

答案：C（提示：由｜｜²+｜｜²=｜｜²+｜｜²=｜｜²+｜｜²，得²+(-)²=²+(-)², ·=·,即（-）·=0,即·=0，故⊥，同理⊥, ⊥,故O是ΔABC的垂心，选C）

12. （理）设A为双曲线－=1右支上一动点，F为该双曲线的右焦点，连AF交双曲线于B，过B作直线BC垂直于双曲线的右准线，垂足为C，则直线AC必以过定点　　　（　　）

A. （，0）　　　　　　　 B. （，0）

C. (4,　0 )　　　　　　　　　 D.　(, 0 )

答案：A（提示：考虑特殊情况，设右准线与x轴交于E，则AC必过EF的中点，可用相似三角形知识结合双曲线定义证，选A）

12．（文）已知P是椭圆+=1上的一点，Q、R分别是圆（x+4）²+y²=和（x－4）²+y²=上的点，则PQ+PR的最小值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　）

A．　　B．　　 C．10　　 D．9

答案：D（提示：设椭圆的焦点为F₁、F₂，恰为两圆的圆心，则PQ+PR的最小值转化为P到F₁、F₂的距离之和达到最小问题，因PF₁+PF₂=10，故PQ+PR的最小值为9，选D）

第Ⅱ卷（选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上

13. 若曲线f(x)=x⁴-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0,则点P的坐标为______________

答案：（1，0）（提示：设P（x₀,y₀）,k=f′(x₀)=4x³-1｜_x=x0=4x₀³-1=3,得x₀=1,代入曲线方程f(x)=x⁴-x,得y₀=0,填（1，0））

14. （理）一个正方体的全面积为a²,它的顶点都在同一个球面上，则这个球的体积为_________

答案：πa³（提示：设正方体的边长为x,球的半径为R，解6x²=a²,∴x=a,由x=2R,得R=x=a,∴球体积为πR³=πa³,填πa³）

14．（文）如图，一个电缆盘上缠绕着直径为8cm的通讯电缆，空盘时，盘芯半径为0.70m，满盘时半径为1.26m，盘宽为1.44m，则满盘时，电缆盘上的电缆长度估计为___m，[假设电缆缠绕时构成同心圆，并以电缆的中心线计算各圈的长度，精确到米]

答案：776m

（提示：根据题意，从最内层开始计算，第一层排了18股电缆，每股电缆长为

a₁=2π（0.70+0.04）；第二层也排了18股电缆，每股电缆长为

a₂=2π（0.70+0.04+0.08）；…；第七层同样排了18股电缆，每股电缆长为

a₇=2π（0.70+0.04+6×0.08）；

则每层电缆的长度构成一个等差数列，其长度总和为S= 18（a₁+ a₂+…+ a₇）

=18π（0.74+1.22）×7=776m

15. （文）若函数f(x)=x²+(m-1)x+n+3,x∈［m,a］的图象关于直线x=-2对称，则a=__________

答案：-9（提示：由对称轴为x=-2得，-=-2,∴m=5,图象关于直线x=-2对称，定义域必须也关于x=-2对称，∴=-2,∴a=-9,填-9）

15．（理）若二次函数f₁（x）=a₁x²+b₁x+c₁和f₂（x）=a₂x²+b₂x+c₂使得f₁（x）+f₂（x）在（－∞，4）上单调增加，在（4，＋∞）上单调递减，试写出一组满足上述要求的二次函数：

f₁（x）=_______；f₂（x）=__________（注：填上你认为正确的一组函数即可，不必考虑所有可能的情况）

答案：不唯一（提示：两函数只要满足a₁+a₂＜0，且－=4即可。）

16. （文）已知函数f(x)=3^x的反函数是f ^-1(x),且f ^-1(6)=a+1，则函数y=3 ^ax(x∈［0,2］)的值域为

_________________________

答案：［1，4］（提示：f^-1(x)=1og₃^x,∴f ^–1(6)=1og₃⁶=a+1,∴a=1og₃²,∴y=3^ax=

3^log₃²^·x= (3log₃²)^x=2^x,∵x∈［0,2］,∴值域为［1，4］）

16．（理）点集C₁、C₂、C₃、C₄分别表示函数f₁（x）=3^x，f₂（x）= 3^x，f₃（x）=3^－x ，f₄（x）=3^－x的图象，给出以下四个命题：

①C₁C₂；②C₄C₃；③C₁∪C₃= C₄∪C₂；④C₁∩C₃=C₂∩C₄

其中正确的命题是________

答案：③④（提示：只要分别画出四个函数的图象，即可判断出③④正确）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17(本小题12分)甲、乙两个篮球运动员，投篮的命中率分别为0.7与0.8，如果每人投篮两次，

（1）求甲投进2球且乙投进1球的概率；

（2）若投进1个球得2分，未投进得0分，求甲、乙两人得分相等的概率

解：（1）设甲投进二球乙投进一球的事件为A，则

P（A）=P₂（2）·P′₂（1）=（C0.7²×0.3⁰）·（C0.8×0.2）=0.1568　　　　（5分）

（2）设甲、乙得分相等的事件为B，则

P（B）=P₂（2）·P′₂（2）+P₂（1）·P′₂（1）+P₂（0）·P′₂（0）

= C0.7²·C0.8²+（C0.7×0.3）·（C0.8×0.2）+C0.3²·C0.2²=0.4516　（12分）

18（文，本小题12分）已知ΔABC中，A、B、C分别是三个内角，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知2（sin²A-sin²C）=(a-b)sinB,ΔABC的外接圆的半径为，

（1）求角C

（2）求ΔABC面积S的最大值

解：（1）2（sin²A-sin²C）=(a-b)sinB,

又2R=2，由正弦定理得：

2=(a-b),

∴a²-c²=ab-b²,　a²+b²-c²=ab

结合余弦定理得:

2ab cosC=ab,∴cosC=

又∵0＜C＜π,∴C=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

(2)法一：S=ab sinC=ab sin=2RsinA·2RsinB

=2sinA sinB= -［cos(A+B)-cos(A-B)］

∵A+B=

∴S=+cos(A-B)

故当cos(A-B)=1,即A=B=时

S_max=+=3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（12分）

法二：S=ab sinC=ab sin=2R sinA·2R sinB=2sinA sinB

=2sinA sin(-A)=2sinA(sincosA-cossinA)

=2sinA(cosA+sinA)= (sinA cosA+sin²A)

=［sin2A+ (1-cos2A)］

= (sin2A-cos2A)+

=sin(2A-)+ ≤+=3

当2A-=时，即A=时，S_max=3　　　　　　　　　　　　 (12分)

18．（理，本小题12分）2001年6月3日进行抚仙湖水下考古，潜水员身背氧气瓶潜入湖底进行考察，氧气瓶形状如图，其结构为一个圆柱和一个圆台的组合（设氧气瓶中氧气已充满，所给尺寸是氧气瓶的内径尺寸），潜水员在潜入水下a米的过程中，速度为 v　米/分，每分钟需氧量与速度平方成正比（当速度为1米/分时，每分钟需氧量0.2L）；在湖底工作时，每分钟需氧量为0.4 L；返回水面时，速度也为 v　米 /分，每分钟需氧量为 0.2 L，若下潜与上浮时速度不能超过p　米 /分，试问潜水员在湖底最多能工作多少时间？（氧气瓶体积计算精确到1L，a，p为常数）

【解答】首先计算氧气瓶中氧气的体积，　　　　　　　　

V=V+V=π×10 ×50＋π×10×（4+20+100）

≈5413π≈16997cm=17　L　　　　　　　　　　　　　（3分）

然后计算用氧时间：设潜入水下a米过程中的每分钟需氧量为Q，则Q=kv ²，

因当速度为1m/分时，每分钟需氧量0.2L，所以k=0.2，

故来回途中需氧量为a×0.2v+a×　v∈（0，p）

则在湖底的工作时间为 [17－（0.2av+）]，　　　　　　　　（6分）

∵0.2av+≥0.4a，当且仅当v=1时取等号，所以

当p≥1时， [17－（0.2av+）]的最大值是42.5－a；　　　　　（8分）

当p＜1时，v∈（0，p），

[17－（0.2av+）]－ [17－（0.2ap+）]

=，

∵v≤p＜1，vp≤p²＜1，

∴ [17－（0.2av+）]－ [17－（0.2ap+）]

=≤0，

即当v=p时，在湖底的工作时间的最大值为 [17－（0.2ap+）]

因此，当p≥1时，潜水员在湖底最多能工作42.5－a分钟；当p＜1时，潜水员在湖底最多能工作 [17－（0.2ap+）]分钟　　　　　　　　　　　　　　　　（12分）

19（本小题12分）甲、乙两题任选一题

（甲）如图（a）所示，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面边长为a，点M在边BC上，ΔAMC₁是以点M为直角顶点的等腰直角三角形.

（1）求证点M为边BC的中点；

（2）求点C到平面AMC₁的距离；

（3）求二面角M-AC₁-C的大小

（乙）如图（b），直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a,BB₁=3a，D为A₁C₁的中点，E为B₁C的中点，

（1）求直线BE与A₁C所成的角；

（2）在线段AA₁上是否存在点F，使CF⊥平面B₁DF，若存在，求出｜｜;若不存在，说明理由

　　　　　（a）　　　　　　　　　　　　　　　　　 (b)

解：（甲）（1）∵△AMC₁为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，

∴AM⊥C₁M且AM=C₁M

∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁

∴CC₁⊥底面ABC且底面ABC为正三角形

∴C₁M在底面内的射影为CM,AM⊥CM

∵底面ABC为边长为a的正三角形　　　　　　　　　　

∴点M为BC的中点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

(2)过点C作CH⊥MC₁

由(1)知AM⊥C₁M且AM⊥CM

∴AM⊥平面C₁CM

∵CH在平面C₁CM内,∴CH⊥AM

∴CH⊥平面C₁AM

由(1)知AM=C₁M=a,CM=a,且CC₁⊥BC

∴CC₁==a

∴CH===a

∴点C到平面AMC₁的距离为a　　　　　　　　　　　　　　　　（8分）

（3）过点C作CI⊥AC₁于I，连HI

∵CH⊥平面C₁AM

∴HI为CI在平面C₁AM内的射影

∴HI⊥AC₁,∠CIH是二面角M-AC₁-C的平面角

在直角三角形ACC₁中

CI===a

sin∠CIH===

∴∠CIH=45°

∴二面角M-AC₁-C的大小为45°　　　　　　　　　　　　　（12分）

（乙）（1）∵以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系（图略）

∵AC=2a,∠ABC=90°

∴AB=BC=a

∴B(0,0,0),　 C(0, a, 0),　 A(a,0,0)

A₁(a,0,3a),　 C₁(0, a,3a),　　 B₁(0,0,3a)

∴D(a, a,3a),　　　 E(0, a,a),　　　　　　　　　 (3分)

∴CA₁=（a,- a,3a）

BE=(0, a, a)

∴｜｜=a,｜｜=a

∴·=0-a²+a²=a²

∴cosθ==

故BE与A₁C所成的角为arc cos　　　　　　　　　　　　　 (6分)

（2）假设存在点F，使CF⊥平面B₁DF，不妨设AF=b,

∴F(a,0,b),　 =(a,- a, b),　 =(a,0,b-3a)

=(a, a,　0)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8分)

∵·=a²-a²=0,∴CF⊥B₁D恒成立　　　　　　　　　　　　　　　（9分）

由·=2a²+b(b-3a)=0b=a或b=2a

故当｜｜=a或2a时，CF⊥平面B₁DF　　　　　　　　　　　　　　（12分）

20（理，本小题12分）已知a、b、c为正整数（a≠1）等差数列｛a_n｝的首项为a,公差为b,等比数列｛b_n｝的首项为b,公比为a,满足条件：a＜b,且b₂＜a₃,在数列｛a_n｝和数列｛b_n｝中各存在一项a_m与b_n有a_m+1=b_n成立，又设c_n=()·log₂

(1)求a,　b的值

（2）求数列｛c_n｝中的最小项，并说明该项是数列｛c_n｝中的第几项？

（3）若数列为等差数列，求常数p

解：（1）由b₂＜a₃即题意有ab＜a+2b＜3b(∵a＜b)

b为正整数，∴1＜a＜3,而a为正整数,∴a=2

又a_m+1=b_n,∴1+2+(m-1)b=b·2^n-1,即b=∈Z+,

只有2^n-1-m+1=1方可，∴b=3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

（2）a_n=2+3(n-1),b_n=3×2^n-1,∴b_2n+1=3×2²ⁿ

∴c_n=(n-5)×2n=2n²-10n,利用二次函数并结合n为正整数，当n=2或3时，

c_n取得最小值-12　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（8分）

（3）法一：设==2n+t

则2n²-10n=2n²+(2p+t)n+pt

∴　 ∴　或　　

∴当p=0或p=-5时，数列为等差数列　　　　　　　　　　　（12分）

法二：∵=, =,=,

又∵为等差数列

∴2×=+,即p²+5p=0

∴p=0或-5　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（12分）

20．（文，本题12分）已知函数f（x）=x²－2xsecα+tan²α

（1）证明：方程f（x）=0有两个相异实根；

（2）当cosα=（k∈N^*）时，设方程f（x）=0的两根分别为x_k、x^’_k，试求（其中表示a₁、a₂、…、a_n的和，n∈N^*,n≥2）

（3）在（2）下，设A_k(x_k，0)，B_k(x_k’，0)( x_k ＜x_k’ ，C_k（secα，-1）,求所有△A_kB_kC_k(k=1,2, …,n)所围成的图形的面积P_n

解：（1）∵△=4 sec²α－4 tan²α=4＞0,

∴方程有两个相异实根。　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

（2）∵tan²α=k²－1,

f（x）=x²－2kx+k²－1=0,

∴　　　（7分）

（3）∵x_k =k－1, x_k’=k+1

∴A_kB_k= x_k’ － x_k=2

又点C_k(k，－1)到x轴距离为1，∴S_△=·2·1=1

∴P_n=n S_△－（n－1）= (3 n+1)　　　　　　　　　（12分）

21(本小题12分)设x、y∈R，, 为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量，若向量=x+(y+) ,=x+(y-) ,且｜｜+｜｜= 4

(1)　求点M（x,y）的轨迹C的方程；

(2)　过点（0，1）作直线l与曲线C交于A、B两点，设=+.是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由

解：（1）法一：∵=x+(y+) ,=x +(y-)

且｜｜+｜｜=4,∴点M（x,y）到两个定点F₁（0，-），

F₂（0，）的距离之和为4

∴轨迹C为以F₁、F₂为焦点的椭圆，方程为+x²=1　　　　　　　　　　　 (4分)

法二：由题意知

+=4

移项得=4-

两边平方，得x²+(y+)²=x²+(y-)²-8+16

整理，得2=4-y

两边平方，得4［x²+(y-)²］=(4-y)²

展开,整理得+x²=1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

(2)∵l过y轴上的点（0，1），若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点

∵=+=

∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾　　　　　　　　　　　　　　　（5分）

∴直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+1,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

由　消去y得(4+k²)x²+2kx-3=0

此时Δ=(2k)²-4(4+k²)(-3)＞0恒成立

且x₁+x₂= -,x₁x₂= -　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (7分)

∵=+

∴四边形OAPB是平行四边形

若存在直线l,使得四边形OAPB是矩形

则OA⊥OB，即·=0

∵=（x₁,y₁）, =(x₂,y₂)

∴·=x₁x₂+y₁y₂=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (9分)

即（1+k²）x₁x₂+k(x₁+x₂₎+1=0,也即

（1+k²）·（-）+k·（-）+1=0

即k²=,解得k=±

∴存在直线l:　y=±x+1,使得四边形OAPB是矩形　　　　　　（12分）

22（本小题14分）已知函数f(x)=-x³+ax²+b(a,b∈R)

(1)若函数y=f(x)图像上任意不同的两点连线斜率小于1，求证：-＜a＜

(2)若x∈［0,1］,函数y=f(x)上任一点切线斜率为k,讨论｜k｜≤1的充要条件

解：（1）设任意不同的两点P₁（x₁,y₁）,P₂(x₂,y₂),且x₁≠x₂

则＜1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

∴＜1

即-x₁²-x₁x₂-x₂²+a(x₁+x₂)＜1

∴-x₁²+(a-x₂)x₁-x₂²+ax₂-1＜0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

∵x₁∈R

∴Δ=(a-x₂)²+4(-x₂²+ax₂-1)＜0

即-3x₂²+2ax₂+a²-4＜0

∴-3(x₂-)²++a²-4＜0

∴a²-4＜0,∴-＜a＜　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

（2）当x∈［0,1］时，k=f′(x)=-3x²+2ax(7分)

由题意知：-1≤-3x²+2ax≤1,x∈［0,1］

即对于任意x∈［0,1］,｜f′(x)｜≤1等价于｜f′（0）｜，｜f′(1)｜，

｜f′()｜的值满足

或　或　　　　　　　　　　　　 (11分)

即或或

∴1≤a≤

即｜k｜≤1的充要条件是1≤a≤　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (14分)