高考数学模拟试卷1

高考数学模拟试卷1

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。考试用时120分钟。

第I卷（选择题共60分）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）＝P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）＝P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn（k）＝

球的体积公式　V_球＝πR³ ，其中R表示球的半径。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

　　（1）设集合A、B分别表示异面直线所成的角、直线与平面所成的角的取值　 范围，则AB=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 （A）　　　　（B）　　  　（C）　　　　（D）

（2）函数y＝x²的图象按向量＝（2，1）平移后得到的图象的函数表达式为

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 (A) y＝（x—2）²—1　  (B) y＝（x+2）²—1　

　　　 (C) y＝（x—2）²＋1　　(D) y＝（x+2）²＋1

　　　

　　　 （3）不等式<1的解集为{xx<1或x>2}，则a＝　　　　　　　 （　　）

　　　 (A)2　　　　(B)—2　　　 (C)　　(D)—

（4）设f（x）的定义域为关于坐标原点对称的区域，则f（0）＝0是f（x）为奇函数的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

　　　 （A）充分不必要条件　　　 （B）必要不充分条件

　　　 （C）充要条件　　　　　　 （D）既不充分也不必要条件

　　　 （5）函数f（x）＝的减区间是　　　　　　　  （　　）

　　　 （A）（—∞，1）　（B）（2，＋∞）　（C）　（D）

　　　 （6）给出四个函数：

(A) y＝cos（2x＋）　　　　　 　(B)y＝sin（2x＋）　

(C) y＝sin（＋）　　　　　　 (D)y＝tan（x＋）

则同时具有以下两个性质的函数是　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

①最小正周期是π　　　　②图象关于点（,0）对称。

　　　 （7）已知：Ｐ为抛物线ｙ＝上的任意一点，Ｆ为抛物线的焦点，点Ａ坐标为(1,1)，则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为　　　　　　　　　　　　 （　　）

（A）　　　　　  (B)2　　　　　　 (C)　　　　  (D)　

（8）地球表面上从A地（北纬45°，东经120°）到B地（北纬45°，东经30°）的最短距离为（地球半径为R）　　　　　　　　　　　　　 （　　）

（A）R　　（B）　　（C）　　（D）

（9）设F₁、F₂为椭圆+y²＝1的两焦点，P在椭圆上，当△F₁PF₂面积为1时，的值为　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （　　）

（A）0　　（B）1　　（C）2　　（D）

（10）我市出租车起步价为6元（起步价内行驶的里程是3Km）以后每1Km价为1.6元，则乘坐出租车的费用y（元）与行驶的里程x（Km）之间的函数图象大致为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  （　　）

(A)　　　　　　  (B)　　　　　　　  (C)　　　　　　　  (D)

（11）已知x,y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为（　　）

(A)6　　　　 (B)-6　　　　 (C)10　　　　 (D)-10

（12）已知(1＋x)+(1＋x)²+(1＋x)³+……+（1＋x）ⁿ＝a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+……+a_nxⁿ，若a₁+a₂+……＋a_n—１＝29—n,则正整数n＝　　　　　　　　　 （　　）

（A）3　　　　（B）4　　　　（Ｃ）5　　　　（Ｄ）6

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共４小题，每小题４分，共16分，把答案填在题中横线上。

（13）某单位有500名职工，其中不到35岁的有125人，35岁~~49岁的有280人，50岁以上的有95人。为了了解该单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，应该用______抽样法。

（14）从点Ｐ（—１，０）向圆（ｘ＋２）²＋（ｙ＋2）²＝1引切线，则切线方程为______。

（15）给出以下几个命题：

①如果空间两直线与直线L所成的角相等，那么这两直线平行。

②如果空间两直线与平面α所成的角相等，那么这两直线平行。

③到定点距离等于定长的点的轨迹是圆。

④如果一条直线和平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

⑤如果两直线a,b在平面α外，并且a⊥α，a⊥b,那么b∥α

其中,正确命题的序号为______（请将你认为正确的命题的序号全写出来）。

（16）凸函数的性质定理为：如果函数f(x)在区间Ｄ上是凸函数，则对于区间Ｄ内的任意x₁，x₂，……，x_n，有

≤f()

若函数y＝sinx在区间（０，π）上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinＢ

＋sinＣ的最大值为______。

三、解答题：本大题共６小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

　　　 （17）（本小题满分12分）

　　　  某班数学兴趣小组有男生和女生各３名，现从中任选２名学生去参加校数学竞赛，求：

（I）恰有一名参赛学生是男生的概率；

（II）至少有一名参赛学生是男生的概率；

（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生的概率。

　　　 （18）（本小题满分12分）

　　　 已知向量＝（cos，sin），＝（cos，—sin），且x∈［，］.

（I）求及；

（II）求函数f(x)＝-的最小值。

　　（19）（本小题满分12分）

　 设f(x)＝ax²＋bx＋c（a>0），f(x)的导数为f^∕（x）.若｜f(０)｜＝１，

f^∕（0）＝0，f（1）＝0.

（I）求f（x）的解析式；

（II）对于任意的x₁,x₂∈[0，1]，且x₁≠x₂.

求证：f(x₂)—f(x₁)≤2x₂—x₁与f(x₂)—f(x₁)≤1都成立。

（20）（本小题满分12分）

如图为一几何体的展开图:

　　　　　　　　　　　  (单位:cm)

（I）沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种特殊几何体？并请画出其直观图，比例尺是；

（II）需要多少个这样的几何体才能拼成一个棱长为6cm的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁，请画出其示意图（需在示意图中分别表示出这种几何体）；

（Ⅲ）设正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁的棱CC₁的中点为E，试求：异面直线EB与AB₁所成角的余弦值及平面AB₁E与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值。

　　（21）（本小题满分12分）

已知：f(x)＝（x<—2），f(x)的反函数为g(x),点An(a_n,)在曲线y＝g(x)上(n∈N₊)，且a₁＝1.

（I）求y＝g(x)的表达式；

（II）证明数列{}为等差数列；

（Ⅲ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅳ）设b_n＝,记S_n＝b₁＋b₂＋……＋b_n，求S_n.

（22）（本小题满分14分）

已知动圆与圆F₁：x²＋y²＋6x＋4＝0和圆F₂：x²＋y²—6x—36＝0都外切。

（I）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（II）若直线L被轨迹C所截得的线段的中点坐标为（—20，—16），求直线L的方程；

（Ⅲ）若点P在直线L上，且过点P的椭圆C^∕以轨迹C的焦点为焦点，试求点P在什么位置时，椭圆C^∕的长轴最短，并求出这个具有最短长轴的椭圆C^∕的方程。

高考数学模拟试卷

参考答案及评分标准

一、选择题：

（1）C　　 （2）C　　 （3）C　　 （4）D　　 （5）C　　 （6）A　　

（7）B　　 （8）C　　 （9）A　　（10）D　　（11）B　　（12）B

二、填空题：

（13）分层

（14）x= —1或3x—4y+3=0

（15）⑤

（16）　

三、解答题

（17）基本事件的种数为=15种　　　　　　　　　　　　　　　　 ……（2分）

（Ⅰ）恰有一名参赛学生是男生的基本事件有=9种　　　　  　……（4分）

这一事件的概率P₁==0.6　　　　　　　　　　　　　　　　　  ……（5分）

（Ⅱ）至少有一名参赛学生是男生这一事件是由两类事件构成的，即恰有一名参赛学生是男生和两名参赛学生都是男生

所求事件的概率P₂=　　　　　　　　　　　  　 ……（9分）

（Ⅲ）至多有一名参赛学生是男生这一事件也是由两类事件构成的，即参赛学生没有男生和恰有一名参赛学生是男生

所求事件的概率P₃=　　　　　　　　　　　  　……（12分）

（18）（Ⅰ）=coscos+sin (—sin)=cos(+)=cos2x …（3分）

=(cos+cos,sin—sin)　　　　　　　　　　　　　 ……（4分）

∴

= … （5分）

∵x∈[，]　　,　　　　　　  ∴=—2cosx 　　　　　　……（6分）

（Ⅱ）f(x)＝—=cos2x—(—2cosx)=cos2x+2cosx

=2cos²x+2cosx—1=　　　　　　　　　　　　　 …… （10分）

∵x∈[，]　,　　　　　　　　 

∴—1≤cosx≤0

∴当cosx=—时，f(x)_min=　　　　　　　　　　　　　　　　  ……（12分）

（19）（Ⅰ）由f(x)=ax²+bx+c 知：f′(x)=2ax+b　　　　　　　　　  ……（2分）

由已知得：　　　　　　　　 　　……（4分）

∵a>0　　　　　　　　　　　　　 ∴f(x)=x²—1　　　　　　　　   ……（5分）

（Ⅱ）x₁,x₂∈[0,1]且x₁≠x₂

∴f(x₂) — f(x₁)=(x₂²—1) —(x₁²—1)=x₂²—x₁²

∴f(x₂) —f(x₁)=x₂²—x₁²=x₂+x₁·x₂—x₁　　　　　　　　　　  ……（7分）

∵x₁,x₂∈[0,1]　　 ,　　　　　　　　　 ∴0≤x₂+x₁≤2

∴x₂+x₁·x₂—x₁≤2x₂—x₁ 即 f(x₂) — f(x₁)≤2x₂—x₁成立。 ……（9分）

又 f(x₂) — f(x₁)= x₂²—x₁²

∵x₁,x₂∈[0,1]　 ,　　　　　　　　　　 ∴x₁²，x₂²∈[0，1]

∴—1≤x₂²—x₁²≤1　　,　　　　　　　　　 ∴ x₂²—x₁²≤1

∴f(x₂) — f(x₁)= x₂²—x₁²≤1成立。　　　　　　　　　　　　 ……（12分）

由以上知：f(x₂) — f(x₁)≤2x₂—x₁与f(x₂) —f(x₁)≤1都成立。

（20）（Ⅰ）有一条侧棱垂直于底面的四棱锥　　　　　　　　　　　  ……（1分）

　　　　　　　　　　　　　　　　 ……（3分）

（Ⅱ）需要3个这样的几何体　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……（5分）

（Ⅲ）①取DD₁中点F，连AF，则AF∥BE。

∴∠FAB₁为异面直线EB与AB₁所成的角。　　　　　　　　　　　　　 ……（6分）

易计算得 B₁F=9，AF=3 ，AB₁=6

∴cos∠FAB₁=

∴异面直线EB与AB₁所成角的余弦值为　　　　　　　　　　　  ……（8分）

②设B₁E、BC的延长线交于点G，连结GA，则GA为平面AB₁E与平面ABC所成二面角的棱　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ……（9分）

在底面ABC内作BH⊥AG，垂足为H.连结HB₁，由三垂线定理知：B₁H⊥AG，

∴∠B₁HB为平面AB₁E与平面ABC所成二面角的平面角。　　　　　　  ……（10分）

在Rt△ABG中，BH=

∴HB₁=

∴cos∠B₁HB=

∴平面AB₁E与平面ABC所成二面角的余弦值为。　　　　　　　　 ……（12分）

（21）（Ⅰ）由y＝得　 ，　　　∴

∵x<—2　 ，　　　　 ∴　　　　　　　　　　　　  ……（2分）

∴g(x)= 　 （x>0）　　　　　　　　　　　　　　　　  ……（3分）

（II）∵点An(a_n,)在曲线y＝g(x)上(n∈N₊)

∴= g(a_n)= 　,　并且a_n >0　　　　　　　　　　  ……（4分）

　，　

∴数列{}为等差数列。　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ……（6分）

（Ⅲ）∵数列{}为等差数列，并且首项为=1，公差为4

∴=1+4（n—1）　　，　　　　 ∴

∵a_n >0　　 ，　　　　　　　　 ∴　　　　　　　　  ……（9分）

（Ⅳ）b_n＝=,　　……（11分）

∴S_n＝b₁＋b₂+…＋b_n=

=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……（12分）

（22）（Ⅰ）圆F₁：（x+3）²+y²=5　，　　圆F₂：（x—3）²+ y²=45　　　 ……（1分）

设动圆半径为r，圆心为M，则由已知得：

 

∴MF₂—MF₁=2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ……（2分）

∴动圆圆心的轨迹C为以F₁，F₂为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，

易得其方程为：（x<0） 　　　　　　　　　　　　　　 ……（4分）

（Ⅱ）设L方程为：y+16=k（x+20），并设L与轨迹C交点坐标为（x₁，y₁），

（x₂，y₂）.则由已知得：,　即x₁+x₂= —40……①

由　　 消去y得：

（4—5k²）x²—10k（20k—16）x—5（20k—16）²—20=0

∴x₁+x₂=　　……②　　　　　　　　　　　　　　　  ……（6分）

由①、②得：= —40

∴k=1

∴所求直线L的方程为y=x+4　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ……（8分）

（Ⅲ）　　　　 y

椭圆的长轴长等于PF₁+PF₂.

要长轴最短，只需在直线L上找一点P，使点P到F₁、F₂的距离之和最小。

由平面几何知识知：作F₁关于L的对称点Q，连结QF₂交直线L于点P，则点P即为所求点，坐标为（）　　　　　　　　　　　　　　　　　  ……（11分）

此时长轴2a=PF₁+PF₂=PQ+PF₂=QF₂=5

从而a²=，C=3

∴b²=a²—c²=

∴椭圆C′的方程为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ……（14分）