高考数学模拟试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。供150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合
与
之间的关系是
（
）
（
）
（
）
（
）∩
2．一个正四棱锥的中截面面积是
，则它的底面边长是
（）
（）
（）
（）
3．函数
，
的值域是
（）
（）
（）
（）
4．已知直线
、
和平面
，则∥的一个必要但不充分条件是
（）∥且∥
（）
且
（）、与成等角 （）∥且
5．已知
且
，
，则
的图象是
（） （） （）
（）
6．已知函数
，则它的单调区间是
（）
（）
（）
（）
及
7．若向量
、
的坐标满足
，
，则·等于
（）
（）
（）
（）
8．圆
与轴交于、两点，圆心为
，若
，则实数
等于
（）
（）
（）
（）
9．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的
倍，又它的首项为，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为
（）
（）
（）
（）
10．直线
、
的倾斜角的取值范围是
（）
（）
∪
（）
（）
∪
11．设函数
，则
的值等于
（）
（）
（）
（）
12．由等式
定义
，则
等于
（）
（）
（）
（）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
13．已知
，
，则
的值是
．
14．已知抛物线
的准线方程是
，那么抛物线的焦点坐标是 .
15．停车场划出一排个停车位置，今有3辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的
个空车位连在一起，则不同的停车方法数为
．
16．设函数
·
,给出下列命题:
①
,
时,
只有一个实数根；
②
时，
是奇函数；
③的图象关于点
对称；
④方程至多有2个实数根．
上述命题中的所有正确命题的序号是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知
，解关于的不等式
．
18．已知函数
，且
、
、
成等差数列．
（1）求实数的值；
（2）若
、
、是两两不相等的正数，且、、成等比数列，试判断
与
的大小关系，并证明你的结论．
19．（本小题满分12分）
在某次考试中，甲、乙、丙三人合格（互不影响）的概率分别是
，
，
，
考试结束后，最容易出现几人合格的情况？
20．（本小题满分12分）
如图，在多面体
中，
面
，
∥
，且
，
，
为
中点．
（1）求证：
面
；
（2）求多面体的体积；
（3）求面
与面
所成的二面角的余弦值．
21．（本小题满分12分）
某村2002年底全村共有1000人，全年工农业总产值为840万元．
（1）若从2003年起该村每年的工农业总产值较上年增加14 万元，每年人口较上年净增数相同，要使该村人均产值年年都增长，那么该村每年人口的净增不超过多少人？
（2）若从2003年起该村每年工农业总产值较上年增长
，每年人口较上年净增10人，则到2012年该村能否实现年人均产值较2002年翻一番（增加一倍）的经济发展目标？
22．（本小题满分14分）
已知动点与双曲线
的两个焦点
、
的距离之和为定值，且
的最小值为
．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若已知
，、在动点的轨迹上且
，求实数
的取值范围．
高三数学试卷参考答案
一、选择题：CBDCBD ABCBDD （每小题5分）
二、填空题：13．
14．
15．
16．①②③
三、解答题:
17．解：不等式可化为
．………………………………………2分
∵，∴
，故原不等式可化为
，………………………… 4分
故当
时，原不等式的解集为
；………………………… 7分
当
时，原不等式的解集为
；…………………………………………………… 9分
故当
时，原不等式的解集为
．………………………………12分
18.解: 解：⑴由、、成等差数列，
可得
，…………………………………………2分
即
且
，解得
．………………………………………4分
⑵由
，可得
，
，…………………7分
∵、、成等比数列，∴
,…………………………………………………8分
又、、是两两不相等的正数，
故
，
∴
，即
．………………12分
19. 按以下四种情况计算概率,概率最大的就是最容易出现的情况.
⑴三人都合格的概率
………………………………………………2分
⑵三人都不合格的概率为
……………………… 4分
⑶恰有两人合格的概率
…………………………7分
⑷恰有一人合格的概率
………………………………… 10分
由此可知，最容易出现恰有１人合格的情况……………………………………………12分
20. 解：（1）取
中点
，连
，
．
∵面，∥，∴
面，
又
面，∴
，又
，是中点，
∴
，∴
平面，∵是的中点且
，
∴∥且
，∴∥，
又，∴
，故四边形
是平行四边形，从而
∥，
∴面．…………………………………………………………………………4分
（2）设
中点为
，则由
可得
且
，
又∵∥，∴与共面，又面，故平面
平面，
∴
平面，即
为四棱锥
的高．
故
·
．……………………… 8分
（3）过作
于
,连接
,由三垂线定理的逆定理得
,
∴
为二面角
的平面角.
易知
,
,
,
由
,
可得
,在
中, 
,故
,
∴面与面所成的二面角的余弦值为
． ………………………………12分
21．解：（1）设从2002年起的第年（2002年为第一年），该村的人均产值为
，
每年人口较上年净增数为
，则
，……………………… 3分
则
， …………………………………5分
当且仅当
，即
时，随着的增大而增大，
故要使该村人均产值年年都增长，那么该村每年人口的净增不超过16人．…………７分
（另法：由
恒成立求解）
（2）由2002年该村的人均产值为
万元;
2012年该村的人均产值为
万元，……………………………………… 9分
从而
,
故到2012年该村能够实现年人均产值较2002年翻一番的经济发展目标．………… 12分
22．解：(1)由题意
，设
（
），由余弦定理
得
．……………… 4分
又
·
，
当且仅当
时，·
取最大值，
此时取最小值
，令
，解得
，
，∴
，故所求的轨迹方程为
．………… ７分
（2）设
，
，则由，可得
，故
，………………………………… 9分
∵、在动点的轨迹上，故
且
，
消去
可得
，解得
，…………………… 12分
又
，∴
，解得
，
故实数的取值范围是
．………………………………………………………… 14分
（其他解法及评分标准略）