高考数学数列与不等式试题选编
l 数列
（一）选择题、填空题
示例：一张报纸，其厚度为a，面积为b，现将此报纸对折（既沿对边中点的连线折叠）7次，这时报纸的厚度和面积分别是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：C
示例：已知数列
满足
记
则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：A.
示例：在正数
、
之间插入数
，使之成为等差数列，又、之间插入数
、
使之成为等比数列，则有 (
)
A.
C.
C.
D.
答案：D
示例：2003年12月，全世界爆发＂禽流感＂，科学家经过深入的研究，终于发现了一种细菌M在杀死＂禽流感＂病毒N的同时能够自身复制．已知１个细菌M可以杀死１个病毒N，并且生成２个细菌M，那么１个细菌M和2047个＂禽流感＂病毒N最多可生成细菌M的数值是( )
A. 1024 B. 2047 C. 2048 D. 2049
答案：C.
示例：某班试用电子投票系统选举班干部，全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1、2、3、…、k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”.
令
则同时同意第1、2号同学当选的人数为 （ ）
A．f（1,1）+f（1，2）+…+f（1, k）+f（2，1）+f（2，2）+…+f（2, k）
B．f（1,1）+f（2，1）+…+f（k，1）+f（1，2）+f（2，2）+…+f（k，2）
C．f（1,1）f（1，2）+f（2，1）f（2，2）+…+f（k，1）f（k，2）
D．f（1,1）f（2，1）+f（1，2）f（2，2）+…+f（1, k）f（2，k）
答案：C.
示例：已知数列{
}前n项和
其中b是与n无关的常数，且0＜b＜1，若
存在，则
________．
答案： 1
示例：设数列an的通项公式为
，试写出一个满足条件的
.
答案: 不唯一，
的所有实数均可.由
示例：如图，第
个图形是由正
边形“扩展”而来，（
则第
个图形中共有
个顶点.
|
答案：
示例：计算机执行以下程序
①始值
；
②
；
③
；
④如
，则进⑤行，否则从②继续运行；
⑤打印
；
⑥Stop；
那么由语句⑤打印出的数值为 .
答案：９１
（二）解答题
示例：化工厂购进了245桶液体工业原料，为了方便保管和运输，要求将它们堆放成纵截面为等腰梯形的一垛，且相邻两层只相差一桶。在不考虑占地面积、堆放高度等具体条件时，堆放方案有哪几种？
答案：ｄ＝１，由等差数列前ｎ项和公式可得到
与ｎ的关系：＝
－
，又
１，所以：ｎ（ｎ＋１）
４９０，而ｎ可取４９０的不大于２１的正整数约数２，５，７，１０，１４，最后共有五种设计方案：ｎ＝２时＝１２２；ｎ＝５时＝４７；ｎ＝７时＝３２；ｎ＝１０时＝２０；ｎ＝１４时＝１１.
示例：设各项均为正数的数列
的前n项和为
，对于任意的正整数n都有等式
成立.
（1）求
；
（2）求证
;
(3)求
.
答案：(1)当n=1时，
.
（2）当
时，
当n=1时，也符合
(3) 当时，
， 
于是数列
是首项为2，公差为2的等差数列.
,
,
.
示例：已知函数f(x)= 的图象过原点，以直线x= -1为渐近线，且关于直线x+y=0对称.
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）若数列{an}（n∈N*）满足：an>0，a1=1，an+1= [f()]2，求a2，a3，a4的值，猜想数列{an}的通项公式an，并证明你的结论；
（3）若数列{an}的前n项的和为Sn，判断Sn与2的大小关系，并证明你的结论.
答案：(1) ∵函数f(x)= 的图象过原点，即f(0)=0，∴c =0，∴f(x)= .
又函数f(x)= = b - 的图象以直线x= -1为渐近线，且关于直线x+y=0对称，∴函数y=f(x)的图象以(-1，1)为对称中心的双曲线，∴a=1，b=1，∴f(x)= .
(2)由题意有an+1=[ ]2，即 = ，即 = +1，∴ - =1.
∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列. ∴ =1+(n-1)=n，即 = ，
∴an= .
∴a2= ，a3= ，a4= ，an= .
(3)当n≥2时，an= < = - .
∴Sn= a1 + a2 + a3 + … + an <1+1- + - + - +… + - =2 - <2.
故Sn <2.
示例：数列中，首项a1=2，前n项和为Sn，对于任意点
，点Pn都在平面直角坐标系xoy的曲线c上，曲线c的方程为
.
（1）判断是否为等比数列，并证明你的结论；
（2）若对每个正整数
为边长能构成三角形，求t的范围.
答案：（1）由
（2）由（1）知：
示例：已知数列
为直角坐标平面上的点.
（1）n∈N，点A，Bn，Cn在同一条直线上，求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}是首项为－3，公差为3的等差数列，Sn表示△ACnDn的面积，设
，试用n表示Hn；
（3）求
.
答案：(1) ∵对n∈N，点A，Bn，Cn在同一条直线上,
∴
.
（2）又数列{bn}是首项为－3，公差为3的等差数列，
∴
.
△ACnDn的面积
.
当
且n∈N时，
,
当
.
,
所以
.
（3）
.
l 不等式
（一）选择题、填空题
示例：已知
，不等式
的解集是
，则
满足的关系是( )
A．
B．
C．
D．
答案：C.
示例：某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为（参考数据lg2=0.3010,lg3=0.4771）
A. 5 B. 10 C. 14 D. 15
答案：C.
示例：不等式
的解集是_______.
答案：
.
示例：观察下列式子：
，则可以猜想的结论为：___________________________.
答案：
（二）解答题
示例：已知
且
试解关于的不等式
答案： 令
(
) ,
则原不等式
.
即 
，
故当
时，原不等式的解是
当
时，原不等式的解是
示例：解不等式：
答案：
原不等式可化为
即
∵a<1，∵（x－2）
当
时，即0<a<1时，解集为
当
时，即a=0时，解集为
；
当
时，即a<0时，解集为
示例：（1）已知是正常数，
，
，求证：
，指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论求函数
（
）的最小值，指出取最小值时的值．
答案：
（1）
，
故．当且仅当
，即
时上式取等号；
（2）由（1）
．
当且仅当
，即
时上式取最小值，即
．
示例：对于定义在区间
上的两个函数
和
，如果对任意的
，均有不等式
成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称“不友好”的.现在有两个函数
与
，给定区间
.
（1）若与在区间上都有意义，求的取值范围；
（2）讨论函数与在区间上是否“友好”.
答案：（1）函数与在区间上有意义，
必须满足
（2）假设存在实数，使得函数与在区间上是“友好”的，
则
即 
（*）
因为
，而在
的右侧，
所以函数
在区间上为减函数，从而
于是不等式（*）成立的充要条件是
因此，当
时，函数与在区间上是“友好”的；当
时，函数与在区间上是不“友好”的.
示例：已知二次函数
的图像过
、
两点，且满足
.
(1)证明：
或
；
(2)证明：函数f(x)的图像必与x轴有两个交点；
(3)若关于x的不等式f(x)>0的解集为
或
(n<m<0)，解关于x的不等式
.
答案：（1）
,
得、
.
（2）当
时，二次函数f(x)的图像开口向上，图像上的点A、B的纵坐标均为
且小于零，所以图像x轴有两个交点；
当
时，二次函数f(x)的图像开口向下，图像上的点A、B的纵坐标均为且大于零，所以图像x轴有两个交点.
所以函数f(x)的图像与x轴有两个不同交点.
（3）
的解集为
或
（n<m<0）,
从而方程
的两个根为
,
, 则方程
的两个根为
,
.
因为n<m<0，所以
,
故不等式
的解集为
或
.
示例：已知二次函数
R）满足
，对任意实数x，都有
，且
时，总有
．
（1）求
；
（2）求a，b，c的值；
（3）当
，
时，函数
（m
R）是单调函数，求m的取值范围．
答案：（1）
对任意实数x，都有，所以
，又在时，有，故
，因此有
．
（2）因为，，则
，
，因为
，则
（当且仅当
时取等号）．又因为对任意实数x，都有，所以
恒成立，即
恒成立
故且
，因此有
，从而
（3）
，
的对称轴是
，因为（mR）在
，上是单调函数，所以
或
.