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高考数学题预测征题

例1如图1，过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在轴上，且使得MF为的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”.

（1）求椭圆的“左特征点”M的坐标；

图1

（2）试根据（1）中的结论猜测：

椭圆的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论.

解析：（1）设为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点为，可设直线的方程为.并将它代入得：，即.

设，则，

∵被轴平分，∴.

即.

∴.

于是.

∵，即.

（2）对于椭圆.于是猜想：椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与轴的交点.

证明：设椭圆的左准线与轴相交于M点，过A，B分别作的垂线，垂足分别为C，D.

据椭圆第二定义：

∵

于是即.

∴，又均为锐角，

∴，∴.

∴的平分线.故M为椭圆的“左特征点”.

点评：近年高考关于圆锥曲线的解答题常作为把关题或压轴题，综合考查考生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力.本题背景新颖，而且考查了《考试大纲》所要求的研究性学习能力，是一道压轴题水平的综合能力题.

图2

例2如图2，已知过原点O，从轴正方向出发逆时针旋转240°，得到射线，点在射线上，设，又知点在射线上移动，设为第三象限内的动点，若且，，成等差数列.

（1）求点的轨迹方程；

（2）已知点的轨迹为C，

直线的斜率为，若直线与曲线C有两个不同的交点M，N，交线MN的中点为，求点的横坐标的取值范围.

解析：（1）设，

轴，.又，

，则，，，

，.

，

由成等差数列得：

，即.

点的轨迹方程为.

（2）设直线的方程为，，，由得.

如图3所示，

图3

当时，

直线与圆相切，此时，注意到，则当时，与圆相切.结合图形得又，.即点的横坐标的取值范围为.

点评：向量及其运算是新课程的新增内容，由于向量融数，形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介.本题将向量与解析几何、数列、方程、不等式以及数形结合思想等有机结合，体现了《考试大纲》要求的“在知识网络交汇点处命题”的精神，预测今年的向量高考题的难度可能上升到压轴题水平.

例3 如图4，在正四棱锥S－ABCD

中，E是BC的中点，P点在侧面内

及其边界上运动，并且总是保持PEAC.

（1）指出动点P的轨迹（即说明动点P在满足给定的条件下运动时所形成的图形），证明你的结论；

（2）以轨迹上的动点P为顶点的三棱锥P－CDE的最大体积是正四棱锥S－ABCD体积的几分之几？

（3）设动点P在G点的位置时三棱锥P－CDE的体积取最大值V₁，二面角G－DE－C的大小为，二面角G－CE－D的大小为，求的值.

（4）若将“E是BC的中点”改为“E是BC上异于B、C的一定点”，其它条件不变，请指出点P的轨迹，证明你的结论.

解析：（1）如图5，分别取CD、SC

的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD.设　　　　　　　　　　　　

AC与BD的交点为O，连结SO，则动点

P的轨迹是的中位线FG.

由正四棱锥可得.又

平面EFG，平面EFG，.

（2）由于是定值，所以当P到平面CDE的距离最大时，最大，易知当P与G重合时，P到平面CDE的距离最大，故.又，G到平面ABCD的距离是点S到平面ABCD的距离的，

（3）令，EF与AC交于N点，连结GN，则GN平面ABCD.

因此二面角G－DE－C和二面角G－CE－D的平面角的正切值的比就等于N到DE和CE的距离的倒数比.

N是OC的中点，N到BC的距离为.

连结DE交OC于M，则M是的重心，.

又，

在中，容易求得N到DE的距离为.

故.

（4）动点P在侧面SCD内部及其边界上运动，且总保持，那么这些相交于定点E的直线系应位于某个与直线AC垂直的平面内，而由正四棱锥的性质可知，平面SBD，因此动直线PE集中在过E且平行于平面SBD的一个平面内.过E作E//SB，E//BD，分别交SC于，交CD于，则平面E//平面SBD，从而平面E，故点P的轨迹是线段.