高考数学猜题4
1. 为防止某突发事件,有甲、乙、丙、丁四种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、乙、丙、丁预防措施后此突发事件不发生的概率(记为P)和所需费用如下表:
| 预防措施 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| P | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 |
| 费用(万元) | 90 | 60 | 30 | 10 |
预防方案可单独采用一种预防措施或联合采用几种预防措施,在总费用不超过120万元的前提下,请确定一个预防方案,使得此突发事件不发生的概率最大.
解: 方案1: 单独采用一种预防措施的费用均不超过120万元.由表可知, 采用甲措施,可 使此突发事件不发生的概率最大,其概率为0.9.
方案 2: 联合采用两种预防措施, 费用均不超过120万元, 由表可知, 联合甲、丙两种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大,其概率为：
1－(1－0.9)(1－0.7)=0.97.
方案3: 联合采用三种预防措施, 费用均不超过120万元,故只能联合乙、丙、丁三种预防措施,此时突发事件不发生的概率为 ：
1－(1－0.8)(1－0.7)(1－0.6)=0.976.
综合上述三个预防方案可知, 在总费用均不超过120万元的前提下, 联合使用乙、丙、丁三种预防措施可使此突发事件不发生的概率最大.
2. 已知函数
=
(a,b
).
(1)若a＝１，函数的图象能否总在直线
b的下方？说明理由；
（２）若函数在【０，２】上是增函数，
＝２是方程＝０的一个根，求证：
≤－２；
（３）若函数图象上任意不同的两点连线斜率小于１，求实数a的取值范围．
解；（1） 不能，取＝－１，则
＝２＋b＞b，即存在点（－１，２＋b）在函数图象上，且在直线b的上方；
（2） 由＝２是方程＝０的一个根，得
=
，即
，又
，令
即解
得两根为
，又函数在【０，２】上是增函数，所以
2，即a≥3，=－1+a+b=－1+ a+8－4a=7－3a≤－2，即≤－2；
（3） 设函数函数图象上任意不同的两点
，
，且
，由连线斜率
＜1，可得
＜
，函数
在R上是单调递减的，
，求导且导数值满足
，即
在R上恒成立，所以
，解得
。
3. 如图,过抛物线
的对称轴上任一点P(0,
)(
作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点，
（1）设点P分有向线段
所成的比为
，证明：
；
（2）设直线AB的方程是
，过A、B两点的圆与抛物线在A点处有公共的切线，求圆C的方程。
解：（1）由条件设直线AB方程为
，代人抛物线方程得
①设A、B两点坐标分别是
、
，则
、
是方程①的两根，∴
，又∵点
分有向线段所成的比为，∴
即=
.又点Q是点P关于原点的对称点,故点Q的坐标为
,从而
.
=
,
=
=
∴
.
(2)
由且知点A、B坐标分别是(6,9)、(-4,4).
由知
,
. ∴抛物线在点A处的切线斜率为
.设圆C的方程为
由
解得
.
.∴圆C的方程为
,即
为所求。