高考数学猜题
1、（一中）如图1，过椭圆
的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在
轴上，且使得MF为
的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”.
（1）求椭圆
的“左特征点”M的坐标；
|
的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论.
解析：（1）设
为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点为
，可设直线
的方程为
.并将它代入得：
，即
.
设
，则
，
∵
被轴平分，∴
.
即
.
即
.
∴
.
于是
.
∵
，即
.
（2）对于椭圆
.于是猜想：椭圆
的“左特征点”是椭圆的左准线与轴的交点.
证明：设椭圆的左准线
与轴相交于M点，过A，B分别作的垂线，垂足分别为C，D.
据椭圆第二定义：
∵
于是
即
.
∴
，又
均为锐角，
∴
，∴
.
∴
的平分线.故M为椭圆的“左特征点”.
说明：近年高考关于圆锥曲线的解答题常作为把关题或压轴题，综合考查考生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力.本题背景新颖，而且考查了《考试大纲》所要求的研究性学习能力，是一道压轴题水平的综合能力题.
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2、（一中）如图2，已知过原点O，从轴正方向出发逆时针旋转240°，得到射线
，点
在射线上
，设
，又知点
在射线
上移动，设
为第三象限内的动点，若
且
，
，
成等差数列.
（1）求点的轨迹方程；（2）已知点的轨迹为C，
直线的斜率为
，若直线与曲线C有两个不同的交点M，N，交线MN的中点为
，求点的横坐标的取值范围.
解析：（1）设
，
轴，
.又，
，则
，
，
，
，
.
，
.
由
成等差数列得：
.
，即
.
点的轨迹方程为.
（2）设直线的方程为
，
，
，由
得
.
如图所示，当
时，
直线与圆相切，此时
，注意到
，则当
时，与圆相切.结合图形得
又
，
.即点的横坐标的取值范围为
.
说明：向量及其运算是新课程的新增内容，由于向量融数，形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介.本题将向量与解析几何、数列、方程、不等式以及数形结合思想等有机结合，体现了《考试大纲》要求的“在知识网络交汇点处命题”的精神，预测今年的向量高考题的难度可能上升到压轴题水平.
3、（一中）在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面
内及其边界上运动，并且总是保持PE
AC.
（1）指出动点P的轨迹（即说明动点P在满足给定的条件下运动时所形成的图形），证明你的结论；
（2）以轨迹上的动点P为顶点的三棱锥P－CDE的最大体积是正四棱锥S－ABCD体积的几分之几？
（3）设动点P在G点的位置时三棱锥P－CDE的体积取最大值V1，二面角G－DE－C的大小为
，二面角G－CE－D的大小为
，求
的值.
（4）若将“E是BC的中点”改为“E是BC上异于B、C的一定点”，其它条件不变，请指出点P的轨迹，证明你的结论.
解析：（1）如图，分别取CD、SC
的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD.设
AC与BD的交点为O，连结SO，则动点
P的轨迹是的中位线FG.
由正四棱锥可得
.又
平面EFG，
平面EFG，
.
（2）由于
是定值，所以当P到平面CDE的距离最大时，
最大，易知当P与G重合时，P到平面CDE的距离最大，故
.又
，G到平面ABCD的距离是点S到平面ABCD的距离的，
.
（3）令
，EF与AC交于N点，连结GN，则GN平面ABCD.
因此二面角G－DE－C和二面角G－CE－D的平面角的正切值的比就等于N到DE和CE的距离的倒数比.
N是OC的中点，N到BC的距离为
.
连结DE交OC于M，则M是
的重心，
.
又
，
在
中，容易求得N到DE的距离为
.
故
.
（4）动点P在侧面SCD内部及其边界上运动，且总保持
，那么这些相交于定点E的直线系应位于某个与直线AC垂直的平面内，而由正四棱锥的性质可知，
平面SBD，因此动直线PE集中在过E且平行于平面SBD的一个平面内.过E作E
//SB，E
//BD，分别交SC于，交CD于，则平面E
//平面SBD，从而
平面E，故点P的轨迹是线段.
说明：本题全方位地考查了立体几何中的主要内容，如线面与线线的位置关系、体积问题、二面角问题等.在立体几何的问题中给出了探求点的轨迹问题，与平面几何、解析几何紧密联系，体现了对综合运用知识的能力要求，考查的知识点丰富，具有相当的难度和深度，达到了压轴题的水平，是一道优秀的创新型试题.
4、（一中）已知
是定义在R上的函数，其图象交轴于A，B，C三点.若点B的坐标为(2,0)，且
在
和[4,5]上有相同的单调性，在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性.
（1）求c的值；
（2）在函数的图象上是否存在一点
，使得在点M的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）求
的取值范围.
解析：（1）因为在和[0,2]上有相反的单调性，
所以
是的一个极值点，故
，
即
有一个解，则
.
（2）因为交轴于点B(2,0)，
所以
，即
.
令
得
.
因为在[0,2]和[4,5]上有相反的单调性，
所以
.
假设存在点，使得在点M的切线斜率为3b，则
，
即
.
.
而
，
.
故不存在点，使得在点M的切线斜率为3b.
（3）设
，依题意可令
，
则
即
，
当
时，
；
当
时，
.
故
.
说明：在知识的交汇点上命题，着重考查学生的创新能力是高考改革的重要方向.本题以高中数学新增内容导数为切入点，涉及了函数、方程、不等式等众多知识点，构题新颖、自然，令人耳目一新。