第一学期期末统一考试高三数学（文科）试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至8页。共青团50分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题50分）
参考公式：
三角函数的和差化积公式
正棱台、圆台的侧面积公式
其中c’、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长台体的体积公式
其中S’、S分别表示上、下底面面积，h表示高
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为正确的选项前的字母填在题后的括号内。
（1）设集合
，若
，则a的取值范围是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）已知二面角
，直线
，
，且a与l不垂直，b与l不垂直，那么（ ）
（A）a与b可能垂直，但不可能平行 （B）a与b可能垂直，也可能平行
（C）a与b不可能垂直，但可能平行 （D）a与b不可能垂直，也不可能平行
（3）函数
在一个周期内的图象如图所示，函数
解析式为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）若椭圆
，双曲线
有相同的焦点
，
，P是两曲线的交点，则
的值是（ ）
（A）
（B）
（C）a-m （D）b-n
（5）如图，O为直二面角
的棱MN上的一点，射线OE，OF分别在
内，且∠EON=∠FON=45°，则∠EOF的大小为（ ）
（A）30° （B）45° （C）60° （D）90°
（6）在等差数列
中， 
，公差d<0，前n项和是
，则有（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）8种不同的商品，选出5种放入5个不同的柜台中，如果甲、乙两种商品不能放入第5号柜台中，那么不同的放法共有（ ）
（A）3360种 （B）5040种 （C）5880种 （D）2160种
（8）下列四个命题：
①满足
的复数只有
；
②若a，b是两个相等的实数，则
是纯虚数；
③复
的充要条件是
；
④复平面内x轴即实轴，y轴即虚轴。
其中正确的有（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（9）在
中，
，则角C等于（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）过抛物线
的焦点作直线与此抛物线交于P，Q两点，那么线段PQ中点的轨迹方程是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（11）已知
，则
=________________。
（12）在一个棱长为
的正四面体内有一点P，它到三个面的距离分别是1cm，2cm，3cm，则它到第四个面的距离为_______________cm。
（13）设等比数列
的前n项和为，前n+1项的和为
，则
=___________________。
（14）抛物线
和圆
上最近两点的距离是_________________。
三、解答题：本大题共6小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）（本小题满分14分）
解关于x的不等式
，（a>0且a≠1）。
（16）（本小题满分14分）
已知：定义在R上的函数为奇函数，且在
上是增函数。
（Ⅰ）求证：在
上也是增函数；
（Ⅱ）对任意
，求实数m，使不等式
恒成立。
（17）（本小题满分14分）
在长方体ABCD—
中，AB=2，
，E为
的中点，连结ED，EC，EB和DB。
（Ⅰ）求证：平面EDB⊥平面EBC；
（Ⅱ）求二面角E-DB-C的正切值；
（Ⅲ）求异面直线EB和DC的距离。
（18）（本小题满分14分）
某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池（平面图如图所示），池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元（池壁厚度忽略不计）。
（Ⅰ）设污水处理池的长为x米时，写出总造价f(x)的解析式；
（Ⅱ）污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低。
（19）（本小题满分14分）
已知椭圆c：
，将椭圆c平移，中心移到点（1，2），成为椭圆c’。
（Ⅰ）求椭圆c’的方程；
（Ⅱ）椭圆c’上存在关于直线
对称的不同的两点，求出m的范围。
（20）（本小题满分14分）
已知函数
，满足条件：
①
；②
；③
；
④当x>y时，有
。
（Ⅰ）求f(1)，f(3)的值；
（Ⅱ）由f(1)，f(2)，f(3)的值，猜想f(n)的解析式；
（Ⅲ）证明你猜想的f(n)的解析式的正确性。
高三期末试卷
数学（文史类）参考答案及评分标准
一、选择题
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| B | B | D | C | C | A | B | A | C | D |
二、填空题
11.
12.4
13.
14.
三、解答题
15.解：当a>1时，原不等式等价于
。……………………2分
…………………………………………………………4分
解得
。………………………………………………………………6分
∴原不等式的解集为
。……………………………………8分
当0<a<1时，原不等式等价于
。………………………10分
或
……………………………………12分
解得
或x>2。
∴原不等式的解集为
。…………………………………………14分
16.（Ⅰ）证明：设
，且
，则
，且
。
…………………………2分
∵在上是增函数，
∴
…………………………………………………………4分
又为奇函数，∴
……………………………………6分
∴
。
∴在上也是增函数。…………………………………………8分
（Ⅱ）∵函数在和上是增函数，且在R上是奇函数
∵在
上是增函数。…………………………………………10分
∵，
∴
。
，
，………………………………………………12分
，
。
∵当
时，
的最大值为
，
∴当
时，不等式恒成立。…………………………………………14分
17.（Ⅰ）证明：在长方体ABCD-中，AB=2，，E为的中点。
∴
为等腰直角三角形，
。
同理
。
∴
，即DE⊥EC。……………………………………………2分
在长方体ABCD-中，BC⊥平面
，又DE
平面，
∴BC⊥DE。……………………………………………………………………4分
又
，
∴DE⊥平面EBC。
∵平面DEB过DE，
∵平面DEB⊥平面EBC。……………………………………………………5分
（Ⅱ）解：如图，过E胡平面中作EO⊥DC于O。
在长方体ABCD-中，
∵面ABCD⊥面，
∴EO⊥面ABCD。
过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF
∴EF⊥BD。
∠EFO为二面角E-DB-C的平面角。………………………………7分
利用平几知识可得
。…………………………10分
（Ⅲ）解：E在上，B在AB上，在长方体ABCD-中，
，
∴EB在平面
内。
又∵DC//AB
∴DC//平面。
直线DC到平面的距离就等于异面直线DC和EB的距离。………………12分
在长方体ABCD-中，平面⊥平面
，连结
，在平面
中，过C作
。
CH⊥平面，CH为所求的距离。
∴
。…………………………………………………………14分
18.（Ⅰ）解：设污水处理池的长为x米，则宽为
米。………………………2分
总造价
。…………………4分
（Ⅱ）
=36000（元）………………………………………………………………10分
当且仅当
时，即x=15等号成立。…………………………………12分
答：当污水处理池的长为15米（宽为
米）时，总造价最低。………………14分
19.（Ⅰ）解：椭圆c’的方程为
。…………………………4分
（Ⅱ）解：设
为椭圆c’上关于直线l对称的不同的两点，AB的中点为
，则有
……………………………………8分
（2）-（1）得
(5) ………………………10分
（3）代入（5）得
(6)。
由（4）与（6）得：
。…………………………………12分
∵M在c’内
∴
。
解得
。…………………………………………………………………14分
20.（Ⅰ）解：∵
，又，
∴
。…………………………………………………………………………2分
又∵
，…………………………………………4分
，且
。
∴
。…………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）解：由
猜想
。…………8分
（Ⅲ）用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，f(1)=1，函数解析式成立；
（2）假设
时，
，函数解析式成立；
①若
，
。………………10分
②若
，
，
。
∴
。……………………………………12分
即
时，函数解析式成立。
综合（1）（2）可知，成立。……………………14分