高考第一轮总复习同步试卷（十一）
集合、函数、数列
一、选择题（5×12=60）
（1）（2000天津）设集合A和B都是坐标平面上的点集
，映射
把集合A中的元素
映射成集合B中的元素
，则在映射
下，象
的原象是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）（2004云南）已知集合
，
，则集合
＝（ ）
A．{
}
B．{
} C．{
}
D． {
}
（3）（2000天津）函数
的部分图象是（ ）
（4）（2001天津）若定义在区间（-1，0）内的函数
的取值范围是（
）
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）（2002天津）设集合
则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）（2002天津）函数
是单调函数的充要条件是（ ）
（A）b≥0 （B）b≤0 （C）b>0 （D）b<0
（7）（2002天津）已知
，则有（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）（2003天津）函数
的反函数为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）（2003天津）已知方程
的四个根组成一个首项为
的等差数列，则
（ ）
（A）1
（B）
（C）
（D）
（10）（2004天津）若函数
在区间
上的最大值是最小值的3倍，则a=（
）
A. 
B.
C.
D.
（11）（2004天津）函数
（
）的反函数是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
（12）（2004云南）函数
的图象（ ）
A．与
的图象关于y轴对称 B．与的图象关于坐标原点对称
C．与
的图象关于
轴对称 D．与的图象关于坐标原点对称
高考第一轮总复习同步试卷（十一）
集合、函数、数列
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 |
二、填空题（4×4＝16）
（13）（2000天津）设
是首项为1的正项数列，且
（
=1，2，3，…），则它的通项公式是
=
。
（14）（2001天津）设｛an｝是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若｛Sn｝是等差数列，则q ＝ .
（15）（2002天津）函数
图象与其反函数图象的交点坐标为_ __。
（16）（2002天津）已知函数
，那么
＋
＋
＋
＋
＋
＋ 
＝
。
三、解答题（17－21题每题12分，22题14分）
（17）（2004云南）（本小题满分12分）
数列
的前n项和记为Sn，已知
证明：
（Ⅰ）数列
是等比数列；
（Ⅱ）
（18）（2001天津）（本小题满分12分）
设
是R上的偶函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（19）（2000天津）（本小题满分12分）
设函数
，其中
。
（I）解不等式
；
（II）求
的取值范围，使函数
在区间
上是单调函数。
（20）（2004上海）(本题满分12分)
记函数f(x)=
的定义域为A, g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)
的定义域为B.
(1) 求A；
(2) 若B
A, 求实数a的取值范围.
（21）（2002天津）(本题满分12分)已知
是由非负整数组成的数列，满足
，
，
＝
，
……。
（1）求
；
（2）证明
……；
（3）求的通项公式及其前
项和
。
（22）（2003天津）（本小题满分14分）
设
为常数，且
．
（Ⅰ）证明对任意
≥1，
；
（Ⅱ）假设对任意≥1有
，求的取值范围．
（附加题）（2004天津）（本小题满分15分）
已知定义在R上的函数
和数列满足下列条件：
，
（n＝2，3，4，…），
，
－
＝
（n＝2，3，4，…），其中a为常数，k为非零常数。
（1）令
，证明数列
是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）当
时，求
。
高考第一轮总复习同步试卷（十一）
集合、函数、数列
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | C | D | A | B | A | D | B | C | A | D | D |
13、
14、1
15、（0,0）、(1,1) 16、
（17）本小题主要考查数列、等比数列的概念和性质，分析和推理能力，满分12分。
证明：（Ⅰ）∵
∴ 
整理得 
所以 
故是以2为公比 的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
于是 
又 
故 
因此对于任意正整数 
都有
（18）本小题主要考查函数的奇偶性和单调性等基本性质，指数函数和不等式的基本性质和运算，以及综合分析问题的能力.
（I）解：依题意，对一切
有
，即
所以
对一切成立.
由此得到
即a2=1.
又因为a＞0，所以a=1.
（II）证明一：设0＜x1＜x2，
由
即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
证明二：由
得
当
时，有
此时
所以f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识、分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力。满分12分。
解：（I）不等式即
，
由此可得
，即
，其中常数。所以，原不等式等价于
即
——3分
所以，当
时，所给不等式的解集为
；
当
时，所给不等式的解集为
。——6分
（II）在区间上任取
，
，使得<。
。——8分
（i） 当时，
∵ 
，∴ 
，
又
，∴
，即
。
所以，当时，函数在区间上是单调递减函数。 ——10分
（ii）当时，在区间上存在两点
，
，满足 
，
，即
，所以函数在区间上不是单调函数。
综上，当且仅当时，函数在区间上是单调函数。——12分
（20）【解】(1)2－
≥0, 得
≥0, x<－1或x≥1
即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞]
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0, 得(x－a－1)(x－2a)<0.
∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).
∵BA, ∴2a≥1或a+1≤－1, 即a≥或a≤－2, 而a<1,
∴≤a<1或a≤－2, 故当BA时, 实数a的取值范围是(－∞,－2]∪[,1)
（21）本小题主要考查数列与等差数列前n项和等基础知识，以及准确表述，分析和解决问题的能力。满分14分。
解：（1）由题设得
，且
均为非负整数，所以的可能的值为1、2、5、10.
若＝1,则
＝10，
＝
，与题设矛盾。
若＝5,则＝2, 
，与题设矛盾。
若＝10,则＝1, 
，
，与题设矛盾。
所以＝2.
（2）用数学归纳法证明：
①当
，等式成立。
②假设当
时等式成立，即
，
由题设
因为
所以
也就是说，当
时，等式成立。
根据①②，对于所有
。
（3）由
得
……。
即
……。
所以
（22）本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分14分.
（1）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0，等式成立；
（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则
那么
也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立.
证法二：如果设
用
代入，可解出
.
所以
是公比为－2，首项为
的等比数列.
即
（2）解法一：由
通项公式 
等价于 
……①
（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为 
即为 
……②
②式对k=1，2，…都成立，有 
（ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为 
即为 
……③
③式对k=1，2，…都成立，有
综上，①式对任意n∈N*，成立，有
故a0的取值范围为
解法二：如果
（n∈N*）成立，特别取n=1，2有 
因此 
下面证明当时，对任意n∈N*，
由an的通项公式 
（i）当n=2k－1，k=1，2…时，
（ii）当n=2k，k=1，2…时，
故a0的取值范围为
（附加题）本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分12分。
（1）证明：由
，可得
。
由数学归纳法可证
。
由题设条件，当
时
因此，数列是一个公比为k的等比数列。
（2）解：由（1）知，
当
时，
当
时，
。
而
所以，当时
。
上式对
也成立。所以，数列的通项公式为
当时
。
上式对也成立，所以，数列的通项公式为
，
（3）解：当时
