第四节简易逻辑
【例1】如果命题“非p或非q”是假命题，有以下结论：
①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题。其中正确的是（ ）
A、①③ B、②③ C、①④ D、③④
【例2】分别指出下列复合命题的形式及构成的简单命题，并判断此复合命题的真假。
（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）方程
没有实根；
（3）
。
【例3】分别写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并判断其真假：
（1）p：3是9个约数，q：3是18的约数；
（2）p：菱形的对角线相等，q：菱形的对角线互相垂直。
（3）p：方程
的两实根符号相同，q：方程的两实根绝对值相同。
【例4】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。
（1）若
，则方程
有实根。
（2）若
，则
或
；
（3）若
，则
、
全为零。
【例5】写出下列命题的否定：
①不论k取什么实数，方程
必有实根；
②存在一个实数x，使得不等式
成立。
【例6】二次函数
，记
，试判断下列命题的真假，若命题为假，请举一个反例；若命题为真，试证明之。
命题1：若
，则
。
命题2：若
为方程
的两根，且
，则当
时，
。
【例7】设
、
、
、
、
、
均为正数，且
，求证：
中最小的数不大于1，而最大的数不小于1。
双基训练
1、命题“若
，则
”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真
命题的个数是（ ）
A、0 B、2 C、 3 D、4
2、命题“若
，则
有实数根”的逆否命题是（ ）
A、若有实数根，则
B、若，则无实数根
C、若无实数根，则
D、若，则无实数根
3、下列4个命题是真命题的是（ ）
①“若，则
均为零”的逆命题；
②“相似三角形的面积相等”的否命题；
③“若
，则
”的逆否命题；
④“末位数不是零的数可被3整除”的逆否命题。
A、①，② B、②，③ C、①，③ D、③，④
4、在命题若p则q的逆命题，否命题、逆否命题中，假命题的个数最多为（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
5、若命题M的否命题是命题N的逆否命题，则命题M是命题N的（ ）
A、逆命题 B、否命题
C、逆否命题 D、命题M与命题N是同一个命题
6、p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线相互平分
（1）p或q形式的复合命题是 。
（2）p且q形式的复合命题是 。
（3）非p形式的复合命题是 。
7、下列有四个命题：
（1）空集是任何集合的真子集 （2）若
，则
（3）单元素不是空集 （4）自然数集就是正整数集
其中真命题是 （填命题的符号）
8、已知
，若
是
的充分而不必要条件，求实数m的取值范围。
9、已知两个命题：p：函数
的图象与x轴一定有公共点：
q：函数的图象与轴一定有公共点，写出这组命题构
成的“非p”“p或q”“p且q”形式的复合命题，并判断它们的真假。
10、分别写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的复合命题，并判断其真假：
（1）p：3是9的约数，q：3是18的约数；
（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相垂直。
知识升华
1、命题“若
，则
是等边三角形”的否命题是（ ）
A、假命题 B、与原命题同真或同假
C、与原命题的逆否命题同真或同假 D、与原命题的逆命题同真
2、用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是（ ）
A、假设至少有一个钝角
B、假设至少有两个钝角
C、假设没有一个钝角
D、假设没有一个钝角或至少有两个钝角
3、以下4个命题正确的结论有（ ）
①“矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形”是“p且q”的形式，该命题是真命题。
②“菱形既是平行四边形又是圆的外切四边形”是“p且q”的形式，该命题是真命题。
③“矩形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形”是“p且q”的形式，该命题是真命题。
④“菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形”是“p或q”的形式，该命题是真命题。
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
4、命题
；命题
，那么下列结论不正确的是（ ）
A、“p或q”为真 B、“p且q”为假
C、“非p”为假 D、 “非q”为假
5、设A、B是全集U的子集，命题p为“
”，则命题“非p”为（ ）
A、
B、
C、
D、
6、命题“p：存实数m，使方程
有实数根”，则“非p”形式的命题是（ ）
A、存在实数m，使方程无实根
B、不存在实数m，使方程无实根
C、对任意的实数m，方程无实根
D、至多有一个实数m，使方程有实根
7、下列四个命题
p：有两个内角互补的四边形是梯形或是圆内接四边形或是平行四边形
q：
不是有理数
：等边三角形是中心对称图形
s：12是3与4的公倍数
其中简单命题只有（ ）
A、q、r、s B、q、r C、r、s D、r
8、（1）下列命题：①“若
，则、到为倒数”的逆命题； ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若
则
”的逆命题，其中真命题是 。
（2）设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么D是C的 条件，A是B的 条件。
9、用反证法证明命题“若整数n的平方是偶数，则n也是偶数”如下：假设n是奇数，则
与已知
是偶数矛盾，所以n是偶数。
10、写出下述命题的否定形式及命题的否命题：
①空集是任何非空集合的真子集。
②整数的平方的个位数字不可能是2。
11、若集合
，证明：乘积
为偶数。
12、若三个正实数：
满足
，求证：中至少有两个不小于1。
挑战高考
1、如果命题“非p或非q”是假命题，则在下列各结论中，正确的为（ ）
①命题“p且q”是真命题 ②命题“p且q”是假命题
③命题“p或q”是真命题 ④命题“p或q”是假命题
A、①③ B、②④ C、②③ D、①④
2、设p、q是两个命题，则“复合命题p或q为真，p且q为假”的充要条件是（ ）
A、p、q中至少有一个为真 B、p、q中至少有一个为假
C、p、q中有且只有一个为真 D、p为真，q为假
3、下列各组命题中，满足“p或q为真”，且“非p为真”的是（ ）
A、
B、
在中若
，则
在第一象限是增函数
C、
D、圆
的面积被直线
平分；
的一条准线方程是
4、已知命题
。那么命题
是（ ）
A、若
，则
B、若
，则
C、若
，则 D、若，则
5、已知命题
所围成图形的同积被直线
平
分；命题q：若抛物线
上一点
到焦点的距离为3，则
。那么
下列说法正确的是（ ）
A、命题“p且q”为真 B、命题“p或q”为假
C、命题“非p”为假 D、命题q为真
6、对于命题：①若“，则全为0”的逆命题。 ②“全等三角形是相似三角形”的否命题。 ③“若
，则有实数根”的逆否命题。其中真命题的个数为（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
7、在下列关于直线
、
与平面
、
的命题中，真命题是（ ）
A、若
B、若
∥
C、若
∥ D、若
∥
∥
8、命题
、
，则
的充要条件。
命题
的定义域是
。则（ ）
A、“p或q”为假 B、“p且q”为真
C、p真q假 D、p假q真
9、设A、B为两个集合，下列四个命题：
①
；②
；
③
；④
。
其中真命题的序号是 。（把符合要求的命题序号都填上）