数学高考题选6—三角函数

数学高考题选6—三角函数（27＋16＋22）

1（06天津理8文9）已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，则函数是（　D　）

A．偶函数且它的图象关于点对称 　B．偶函数且它的图象关于点对称

C．奇函数且它的图象关于点对称　 D．奇函数且它的图象关于点对称

2（06江苏4） 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点(C )

 （A）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

（B）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）

（C）向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

（D）向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

3（06北京文2）函数的图象　 （ B　）

  （A）关于x轴对称 （B）关于y轴对称 （C）关于原点对称 （D）关于直线对称

4（06福建理9） 已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于(B )

　　（A）　　　　（B）　　　　（C）2　　　　（D）3

5（06江西文）2．函数的最小正周期为　　　　 （B）

Ａ．　　　　　　　　　　　　Ｂ．　　　　　　　　　　　　 Ｃ．　　　　　　　　　　　 Ｄ．

6（06安徽理6文9）将函数的图象按向量

平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象

所对应函数的解析式是( C )

A． B．

C． D．

7（06湖南文8）设点P是函数的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴上的距离的最小值，则的最小正周期是　　　　　　　　  （ B ）

A．2π　　　　  　　　　B. π　　 　　　　C. 　　　　　　　  D.

8（06四川理5文6）下列函数中，图象的一部分如右

图所示的是　　　 (　D  )　　　　　　　 

（A）　　  （B）

（C）　　 （D）

9（06全国2理2文3）函数的最小正周期是（ D ）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（A）2π　　　　  （B）4π　　　　 （C）　　　　  （D）

10（06全国2理10文10）若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝　　　　　  (　C　)

（A）3－cos2x　　　　（B）3－sin2x　　　　（C）3＋cos2x　　  （D）3＋sin2x

11(06辽宁文1)函数的最小正周期是　　　　　　　 （ D）

Ａ．　　　　　Ｂ．　　　　　 Ｃ．　　　　 Ｄ．

12（全国1理5文6）函数的单调增区间为　　　　　 ( C　)

A．　　　　　　 B．

C．　　　　　  D．

13（06安徽理8文8）设，对于函数，下列结论正确的是( B )　　　　

A．有最大值而无最小值　　 B．有最小值而无最大值

C．有最大值且有最小值　　 D．既无最大值又无最小值

14（06福建理12） 对于直角坐标平面内的任意两点，定义它们之间的一种“距离”：

　　　 给出下列三个命题：

　　　 ①若点C在线段AB上，则

　　　 ②在中，若则

　　　 ③在中，其中真命题的个数为　　 ( B )

　　　 （A）0　　　　（B）1　　　　（C）2　　　　（D）3

15（06重庆文10） 若，,，则的值等于 ( B　)

（A）　　（B）　　 （C）　　 （D）

16（06福建理3文4） 已知则等于 （A）

　　　 （A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

17（06辽宁理11）已知函数,则的值域是（　Ｃ）

 (A)　　(B) 　 (C) 　 (D)

18（06浙江理6）函数的值域是　　　　　 (　C　)

（A）　　　　　　　　　　　　　　　　（B）　　

（C）　　　　　　　（D）

19（06湖北理3文3）3.若的内角满足，则( A )　　　　　　　 

A.　　　　　　 B．　　　　  C．　　　　　 　 D．

20（06天津文5）设，那么“”是“”的（　C　）

Ａ．充分而不必要条件　　　　　　　Ｂ．必要而不充分条件

Ｃ．充分必要条件　　　　　　　　　　 Ｄ．既不充分也不必要条件

21（06陕西理6文6）等式成立是成等差数列 的　（ A ）

（Ａ）必要而不充分条件　　　　（Ｂ）充分而不必要条件　　　　　　　　　

（Ｃ）充分必要条件　　　　　　（Ｄ）既不充分又不必要条件

22 （06安徽理11文11）如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ D ）

A．和都是锐角三角形　　　　　　

B．和都是钝角三角形

C．是钝角三角形，是锐角三角形

D．是锐角三角形，是钝角三角形

23 （06山东理4文6）4．在中，角的对边分别为，已知，则（B）

（A）1　　　　　　　　 （B）2　　　　　　　　　　　　（C） 　　　　　　　（D）

24（06四川理11文11）设分别是的三个内角所对的边，则

是的(  A　)　

（A）充要条件　　　　　  　　　（B）充分而不必要条件

（C）必要而充分条件　　　　　  （D）既不充分又不必要条件

25(06辽宁文10)已知等腰的腰为底的2倍，则顶角的正切值是　（D）

Ａ．　　　　　　　Ｂ．　　　　Ｃ．　　　　　　 Ｄ．

26（全国1理6文8）的内角A、B、C的对边分别为，若成等比数列，且，则(B)

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

27（全国1理11文12）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为　　( B)

A．　　  B．　　　　  C．　　　　  D．

二 填空题

1 （06上海理6）如果＝，且是第四象限的角，那么＝ 　 　  ．

2（06上海文6）函数的最小正周期是______π___。

3 （06浙江文12）函数的值域是　　 　　　　 

4 （06福建文）（16）已知函数在区间上的最小值是，则的最小值是＿＿＿＿。

5（06湖南文15）若是偶函数，则a=　 －3　 .

解：，

6 （06湖南理14）若是偶函数, 则有序实数对可以 是__________.(注: 写出你认为正确的一组数字即可)

7（06重庆文13） 已知，，则　－2　　　 。

8（06江苏14） 　　　　　　　

解：原式＝

9（06重庆理13）已知，，，则　　。

10（06陕西理文13） 的值为　　　　　

11（06湖南理15）. 如图2, , 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动, 且,则的取值范围是_______;

当时, 的取值范围是__________.

12（06北京理12文12）在中，若，则的大小是

______________.

13（06江苏11） 在中，已知，则AC=　　　　　　　 

解：

14（06全国2理14） 已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为　 　 ．

15 （06湖北文11） 在ABC中，已知，b＝4，A＝30°，则sinB＝　　　　　　.

16 （06上海理8）在极坐标系中，O是极点，设点A（4，），B（5，－），则△OAB的面积是 　 5　　  ．

三 解答题

1（06北京理15）（12分）已知函数，

　　（Ⅰ）求的定义域；

　　（Ⅱ）设是第四象限的角，且，求的值.

解：(Ⅰ)由cosx≠0得x≠kπ+（k∈Z),　故的定义域为｛xx≠kπ+,k∈Z｝.

（Ⅱ)因为,且α是第四象限的角,
　　　所以sinα=,cosα=,

故

2 （06北京文15） (12分)已知函数
(Ⅰ)求的定义域；
(Ⅱ)设α是第四象限的角，且 ，求的值.

解：(Ⅰ)由cosx≠0得x≠kπ+（k∈Z), 故的定义域为｛xx≠kπ+,k∈Z｝.
　　(Ⅱ)因为,且α是第四象限的角,
　　　所以sinα=,cosα=,

故

3（06上海理17）（12分）求函数＝2＋的值域和最小正周期．

.解：y=cos(x+) cos(x－)+sin2x  =cos2x+sin2x=2sin(2x+)

　∴函数y=cos(x+) cos(x－)+sin2x的值域是[－2,2],最小正周期是π.

4（06上海文17）（12分）已知是第一象限的角，且，求的值。

解：=

　 由已知可得sin,　∴原式=.

5（06安徽理17）（12分）已知

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值。

解：(Ⅰ)由得，即，

又，所以为所求。

（Ⅱ）

===。

6 （06安徽文17）（12分）已知

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求的值。

解：(Ⅰ)由，得，所以。

（Ⅱ）∵，∴。

7（06湖南文16） （ １２分）

　　　 已知求θ的值.

 解　由已知条件得.

即.　 解得.

由0＜θ＜π知，从而.

8（06天津文17） （ 12分）已知，．求和的值．

解：

　

9（06重庆理17文17）（13分）设函数（其中）。

且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标是。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）如果在区间上的最小值为，求的值；

　

　　 ，

　　

10（06广东15）（14分）已知函数

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求的最大值和最小值；

（Ⅲ）若，求的值.

解：

（Ⅰ）的最小正周期为;

（Ⅱ）的最大值为和最小值；

（Ⅲ）因为，即,即

11（06福建理17文17）（本小题满分12分）

　　　 已知函数

　　　 （I）求函数的最小正周期和单调增区间；

　　　 （II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？

　　　 解：（I）

　　　　　　　　　

　　　 的最小正周期

　　　 由题意得

　　　 即　的单调增区间为

　　　 （II）方法一：

　　　 先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象。

　　　 方法二：

　　　 把图象上所有的点按向量平移，就得到的图象。

 

 

 

12（06浙江理15文15）如图，函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求与的夹角。

解：（Ⅰ）因为函数图象过点（0，1） 所以 ,即 

因为，所以.

（Ⅱ）由函数及其图象，得

所以 ，从而

故.

13（06江西理19）（12分）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是

边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，设（）

（Ⅰ）试将的面积（分别记为）表示为a的函数

（Ⅱ）求的最大值与最小值

解：（Ⅰ）因为G是边长为1的正三角形ABC的中心，

所以　，，

由正弦定理　 得

则

同理可求得

（Ⅱ）

因为，所以当a＝或时，y取得最大值

当时，y取得最小值

14（06陕西理17文18）已知函数

　　（I）求函数的最小正周期；

　　（II）求使函数取得最大值的集合。

解:(Ⅰ)

　　　 　∴

　(Ⅱ)当取最大值时, ,有 ，

　∴所求x的集合为

15（06辽宁理17文17）( 12分)

已知函数，.求:

(I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合；

(II) 函数的单调增区间.

解(I)  

当,即时, 取得最大值.

函数的取得最大值的自变量的集合为.

 (II)解:

由题意得: 　即:

因此函数的单调增区间为.

16（06山东理17文18）（12分）

已知函数，且的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）.

（I）求

（II）计算.

解：（I）

的最大值为2，.　

又其图象相邻两对称轴间的距离为2，，

.

过点，

　

又　　.

（II）解法一：，

.

又的周期为4，，

解法二：

， 的周期是4。

又的周期为4，，

17（全国1理17文18）（12分）的三个内角为，求当A为何值时，

取得最大值，并求出这个最大值。

解: 由, 得 , 所以有

 

当, 即时, 取得最大值为

18（06湖南理16）（12分）

如图3, 是直角斜边上一点, .

 (Ⅰ)证明: ;　 (Ⅱ)若,求的值.

解　(I)如图, 因为，

所以 ，

即 。

（II）在中,由正弦定理得，即。

所以。

由（I），，所以。

即，

解得或。　

因为，所以，

从而。

19 （06江西文19） （本小题满分12分）

在锐角中，角所对的边分别为，已知，

（1）求的值；

（2）若，，求的值．

解：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝p，，所以cosA＝，则

（2），

则bc＝3。将a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：中得解得b＝

 20（06天津理17）（12分）　如图，在中，，，．

（1）求的值；（2）求的值.

解：(1)在中，，，

(2)　

,

，

21（06全国2文17）（１２分）

在,求

（1）

(2)若点

解：（1）由

由正弦定理知

（2），

由余弦定理知

22（06上海理18文18） （12分）

如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？

.解：连接BC,由余弦定理得BC²=20²+10²－2×20×10COS120°=700.

　　 于是,BC=10.

　　 ∵,　  ∴sin∠ACB=,

　　 ∵∠ACB<90°　　　　　 ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.