高考全国统一标准数学测试（文科A卷）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

高考全国统一标准数学测试（文科A卷）

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试用时120分钟.

第Ⅰ卷(选择题  共60分)

参考公式：

sincos=［sin(+)+sin(－)］

cossin=［sin(+)－sin(－)］

coscos=［cos(+)+cos(－)］

sinsin=－［cos(+)－cos(－)］

sin+sin=2sincos

sin－sin=2cossin

cos+cos=2coscos

cos－cos=－2sinsin

S_台侧=（c′+c)l(c、c′分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长）

V_台体=（S′++S）h(S′、S分别表示上、下底面积，h表示高）

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率P_n(k)=Cp^k(1－p)^n－k

一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.对于函数f(x)=lgsinx(＜x＜，下列说法中正确的是

A.f(x)是增函数,且f(x)>0　　　　　　　　　　　　　　　　 B.f(x)是增函数,且f(x)<0

C.f(x)是减函数,且f(x)>0　　　　　　　　　　　　　　　　 D.f(x)是减函数,且f(x)<0

2.设复数z₁=2－i,已知z₂=z₁，且arg，则复数z₂的值为

A.1+2i　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.1－2i

C.－1+2i　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.－1－2i

3.某地区高中分三类，A类校共有学生4000人，B类校共有学生2000人，C类校共有学生3000人.现欲抽样分析某次考试的情况，若抽取900份试卷进行分析，则从A类校抽取的试卷份数应为

A.450　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.400

C.300　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.200

4.给定两个向量a=（3，4），b=（2，1），若（a+xb）⊥(a－b)，则x等于

A.－3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.

C.3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.－

5.对于定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在实数x₀，使f(x₀)=x₀,那么x₀叫做函数f(x)的一个不动点.已知函数f(x)=x²+2ax+1不存在不动点，那么a的取值范围是

A.(－)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.(－)

C.(－1,1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(－∞,－1)∪(1,+∞)

6.直线y=x+5与曲线=1的交点的个数是

A.0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.1

C.2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.3

7.点P在曲线y=x³－x+7上移动，过P点的切线的倾斜角取值范围是

A.［0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.(0,)∪［,

C.［0, ∪(,　　　　　　　　　　　　　　　　 D.［0, ∪［, )

8.在等比数列{a_n}中，已知对任意自然数n ，a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ－1，则a₁²+a₂²+…+a_n²等于

A.(2ⁿ－1)²B.(2ⁿ－1)²

C.4ⁿ－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.(4ⁿ－1)

9.将一张坐标纸折叠一次，使点（0，5）与点（4，3）重合，则与点（－4，2）重合的点是

A.（4，－2）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.（4，－3）

C.（3，）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.（3，－1）

10.若偶函数f(x)在区间［－1，0］上是减函数，、是锐角三角形的两个内角，且≠，则下列不等式中正确的是

A.f(cos)＞f(cos)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.f(sin)＞f(cos)

C.f(sin)＞f(sin)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.f(cos)＞f(sin)

11.如下图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁ 中，E、F分别是AB、CC₁的中点，则异面直线A₁C与EF所成角的余弦值为

A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B.

C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　D.

12.甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为t₁、t₂，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走（m≠n）；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走.则下列结论成立的是

A.t₁>t₂ B.t₁=t₂

C.t₁<t₂ D.t₁、t₂的大小无法确定

第Ⅱ卷 (非选择题  共90分)

二、填空题（本大题共4小题；每小题4分，共16分.把答案填在题中的横线上）

13.若f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象经过点A（0，3）和B（3，－1），则不等式f(x+1)－1＜2的解集是____________.

14.已知f(x)=2x³－6x²+m(m为常数）在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值为____________.

15.设函数f(x)=，则方程x+1=(2x－1)^f(x)的解为____________.

 

16.如图所示，在A、B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通. 今发现A、B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有_________种.

三、解答题（本大题共6小题；共74分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）

已知f(x)=，

（Ⅰ）求f(x)的定义域、值域；

（Ⅱ）若f(x)=2,－＜x＜,求x的值.

18.（本小题满分12分）

在袋里装30个小球，其中彩球有：n个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白色.

求：（Ⅰ）如果已经从中取定了5个黄球和3个蓝球，并将它们编上了不同的号码后排成一排，那么使蓝色小球互不相邻的排法有多少种？

(Ⅱ)如果从袋里取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是，且n≥2，计算红球有几个？

(Ⅲ)根据（Ⅱ）的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.

19.（本小题满分12分）

已知数列1，3，6…的各项是由一个等比数列和一个等差数列的对应项相加而得到，其中等差数列的首项为0.

（Ⅰ）求这个数列的前n项和S_n；

（Ⅱ）设T_n=，问是否存在正整数M，使得对一切正整数n，T_n≤M都成立.如存在，求出M的最小值;如不存在，说明理由.

（Ⅲ）求T_n的值.

20.（注意：在以下甲、乙两题中任选一题作答.如果两题都作答，只以甲题记分，本小题满分12分）

（甲）如图,已知正四棱锥S—ABCD，底面的中心O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，其中Ox//BC、Oy//AB，四棱锥的底面的边长为4，高为6，点M是高SO的中点，G是侧面△SBC的重心.求

（Ⅰ）MG两点间的距离；

（Ⅱ）异面直线MG与BS所成的角.

（乙）如图，三棱锥P—ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D为PA的中点，二面角P—AC—B为120°，PC = 2，AB=2.

（Ⅰ）求证：AC⊥BD；

（Ⅱ）求BD与底面ABC所成角的正弦值.

21.(本小题满分12分)

给定双曲线x²－=1，

（Ⅰ）过点A（2，1）的直线l与所给双曲线交于P₁ 、P₂，求线段P₁P₂的中点P的轨迹方程；

（Ⅱ）过点B（1，1）能否作出直线l′，使l′与所给双曲线交于两点Q₁ 、Q₂,且B是线段Q₁Q₂的中点？说明理由.

22.（本小题满分14分）

已知函数f(x)=x⁴－4x³+ax²－1在区间［0,1)上单调递增，在区间［1，2）上单调递减.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若点A（x₀,f(x₀)）在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上；

（Ⅲ）是否存在实数b，使得函数g(x)=bx²－1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点.若存在，请求出实数b的值；若不存在，试说明理由.

参　考　答　案

一、选择题

1.D

2.D　（根据复数乘除法的几何意义）

3.B　4.A

5.A　（已知条件等价于x²+2ax+1=x无实根，由此易得答案）

6.B　（可用数形结合的方法，曲线=1实际上是椭圆=1在一、四象限的部分和双曲线－=1在二、三象限的部分）

7.D　（过P点的切线的倾斜角正切值的范围即是y′=3x²－1的值域［－1,+∞）,由此得答案）

8.D

9.A　（所求点是（－4，2）关于（0，5）与点（4，3）的中垂线的对称点）

10.B　（ 由已知，+是钝角，则有>90°－，而正弦函数在第一象限是增函数，

所以sin>sin(90°－)，即sin>cos.

又偶函数f(x)在区间［－1，0］上是减函数，

所以函数f(x)在区间［0，1］上是增函数，因此选B）

11.B　（设异面直线A₁C与EF所成角为θ，正方体棱长为1，

,得

cosθ=1，所以选B）

12.C　（设A、B两地的路程为2s，则t₁m+t₁n=2s和=t₂成立，

由此得.由此易证t₁<t₂）

二、填空题

13.{x－1＜x＜2}  14.－37

15.x=0，2或－　16.13

三、解答题

17.解：（Ⅰ）f(x)=

=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

由1+sin2x≠0，得sin2x≠－1，

∴2x≠2k－.∴x≠k－(k∈Z).

∴f(x)的定义域为{xx∈R，且x≠k－,k∈Z}.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

∵0＜1+sin2x≤2，∴≥.

∴f(x)的值域为{yy≥}.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

(Ⅱ)由f(x)=2，即=2，得sin2x=－.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9分

∵－＜x＜,－＜2x＜,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 10分

∴2x=－或2x=,∴x=－或x=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 12分

18.解：(Ⅰ)将5个黄球排成一排只有A种排法，将3个蓝球放在5个黄球所形成的6个空上，有A种放法 .

∴所求的排法为AA=5×4×3×2×6×5×4=14400（种）.　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

 (Ⅱ)取3个球的种数为C=4060,设“3个球全红色”为事件A，“3个球全蓝色”为事件B，“3个球全黄色”为事件C.

P（B）=，P（C）=.

∵A、B、C为互斥事件，

∴P（A+B+C）= P（A）+P（B）+P（C）  ,

即P（A）=0红球的个数≤2.

又∵n≥2，故n=2.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

(Ⅲ)记“3个球中至少有一个是红球”为事件D，则为“3个球中没有红球”，

P（D）=1－P（）=1－或P（D）=.　　 12分

19.解：（Ⅰ）设数列1，3，6，…为{A_n}，A_n=a_n+b_n，其中{a_n}为等比数列，{b_n}为等差数列，q、d分别为数列{a_n}、数列{b_n}的公比与公差，而b₁=0，且

解之，得d₁=1，q=2，a₁=1.因而a_n=2^n－1，b_n=n－1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

∴S_n=(a₁+a₂+…+a_n)+(b₁+b₂+…+b_n)

=(1+2+…+2^n－1)+［0+1+…+(n－1)］

=2ⁿ－1+.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

（Ⅱ）T_n=≤，因此存在满足条件的正整数M,

其中M的最小值是3.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

（Ⅲ）T_n=（）=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 12分

20.（甲）解：由已知得S坐标为（0，0，6），B（2，2，0），C（－2，2，0）.

M是SO的中点,M（0，0，3）,G是△SBC的重心，

∴G（0，，2）.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

（Ⅰ）MG=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分 

（Ⅱ） =（0，，－1）,=（－2，－2，6）.

设（，）=，则cos=

=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

又∵∈(0°,90°),

∴=arccos()或=－arccos(－)即为MG与BS所成的角.　　　 12分

（乙）解:（Ⅰ）取AC中点E，连DE、BE，则DE∥PC，PC⊥AC,

∴DE⊥AC.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分 

又△ABC是正三角形，∴BE⊥AC,∴AC⊥平面DEB.

又BD平面BED,∴AC⊥BD.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5分 

（Ⅱ）由（Ⅰ）中知DE⊥AC，BE⊥AC,

∴∠DEB是二面角P—AC—B的平面角.

∴∠DEB=120°.又AB=2,其中线BE=AB=3，DE=PC=1.

∵AC⊥平面BDE，

又AC平面ABC,

∴平面ABC⊥平面BDE,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分

且交线为BE，过D作平面ABC的垂线DF，垂足F必在直线BE上.

又∠DEB=120°，

∴设F在BE延长线上，则∠DBE即为BD与底面ABC所成的角. 　　　　　　　　　　　　 9分 

又△DEB中，DB²=DE²+BE²－2BE·DEcos120°=13,

∴BD=.由正弦定理：,

∴sinDBE=,即BD与底面ABC所成的角的正弦值为.　　　　　　　　　　　 　 12分

21.解：(Ⅰ)可设P₁（x₁,y₁）,P₂(x₂,y₂) ，它们的中点P的坐标为（x,y），

则有x₁²－=1，x₂²－=1，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

两式相减得2(x₁+x₂)(x₁－x₂)=(y₁+y₂)(y₁－y₂),　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3分

当x₁≠x₂时，y≠0 ，

由x₁+x₂=2x,y₁+y₂=2y，

得.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

又由P₁、P₂、P、A四点共线得：,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

由①②得,即2x²－y²－4x+y=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

当x₁=x₂ 时，x=2,y=0满足此方程.

故线段P₁P₂的中点P的轨迹方程为2x²－y²－4x+y=0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

（Ⅱ）假设满足题设条件的直线l′存在.可设Q₁（x₃,y₃）、Q₂(x₃,y₄) ，

同（Ⅰ）得2（x₃+x₄）(x₃－x₄)=(y₃+y₄)(y₃－y₄) ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

由x₃+x₄=2,y₃+y₄=2，得=2（x₃≠x₄),

即k_l′=2，从而直线l′的方程为y－1=2(x－1)，即 y=2x－1.

因为方程组，无解，矛盾.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 11分

故满足题设条件的直线l′不存在.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 12分

22.解：（Ⅰ）由函数f(x)=x⁴－4x³+ax²－1，在区间［0，1）上单调递增，在区间［1，2）上单调递减，

∴x=1时，f(x)取得极大值，∴f′(1)=0.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

f′(x)=4x³－12x²+2ax,

∴4－12+2a=0a=4.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(Ⅱ)点A（x₀,f(x₀)）关于x=1的对称点B坐标为（2－x₀,f(x₀)）,　　　　　　　　　　　　　　　 6分

f(2－x₀)=(2－x₀)⁴－4(2－x₀)³+4(2－x₀)²－1

=(2－x₀)²［(2－x₀)－2］²－1

=x₀⁴－4x₀³+4x₀²－1=f(x₀).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

∴点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9分

（Ⅲ）函数g(x)=bx²－1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，等价于方程x⁴－4x³+4x²－1=bx²－1恰有3个不等实根，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 10分

x⁴－4x³+4x²－1=bx²－1x⁴－4x³+(4－b)x²=0.

∵x=0是其中一个根，

∴方程x²－4x+(4－b)=0有两个非0不等实根.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

∴∴b＞0且b≠4.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分