对数函数

　　　　　　　　　　　　　　　　  　对数

　　　　　　　　　　　　　　  对数函数

一、学习目标

 1、理解对数概念；

 2、能进行对数式与指数式的互化；

 3、掌握对数的运算性质；

 4、培养应用意识、化归意识。

 5、掌握对数函数的概念；

 6、掌握对数函数的图像的性质；

 7、掌握比较对数大小的方法，培养应用意识；

 8、培养图形结合、化归等思想。

二、例题分析

　　　　　　　　　　　　　　　 第一阶梯

[例1]将下列对数式化为指数式，指数式化为对数式：

　　 (1)log₂16=4；　　 　(3)5⁴=625；　　

_{解：(1)24=16}

  

　　 _{(3)∵54=625，∴log5625=4.}

  

　　　

_{[例2]解下列各式中的x：}

　



　_(3)2x=3；

_{(4)log3(x-1)=log9(x+5).}

_解：

 

　　 _(3)x=log23.

_{(4)将方程变形为}

　　　 

_{[例3]求下列函数的定义域：}

　







_{思路分析：}

_{求定义域即求使解析式有意义的x的范围，真数大于0、底大于0且不等于1是对数运算有意义的前提条件。}

_{解：(1)令x2-4x-5>0，得(x-5)(x+1)>0，故定义域为{xx<-1，或x>5}}



　　　　∴0<4x-3≤1。











　 　　所以所求定义域为{x-1<0，或0<x<2}.

　　　　　　　　　　　　　　　 第二阶梯

[例4]比较下列各组数中两个值的大小

　(1)log₂3.4， log₂8.5；

　(2)log_0.31.8， log_0.32.7；

　(3)log_a5.1， log_a5.9(a>0，a≠1)。

　思路分析：

　题中各组数可分别看作对数函数y=log₂x、y=log_0.3x、y=log_ax的两函数值，可由对数函数的单调性确定。

　解：(1)因为底数2>1，所以对数函数y=log₂x在(0，+∞)上是增函数，于是log₂3.4<log₂8.5；

　 　 (2)因为底数为0.3，又0<0.3<1，所以对数函数y=log_0.3x在(0，+∞)上是减函数，于是log_0.31.8>

　　　  log_0.32.7；

　　  (3)当a>1时，函数y=log_ax在(0，+∞)上是增函数，所以log_a5.1<log_a5.9；

　　  　当0<a<1时，函数 y=log_ax在(0，+∞)上是减函数，所以log_a5.1>log_a5.9。

　说明：本题是利用对数函数的单调性比较两对数的大小问题，对底数与1的大小关系未明确指定时，要分

　  　　情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小，利用函数单调性比较对数的大小，是重要的基本方

　　　  法。

[例5]若a>0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子中正确的个数是（ ）

　(1)log_ax·log_ay=log_a(x+y)；

　(2)log_ax-log_ay=log_a(x-y)；

　 

　(4)log_axy=log_ax·log_ay；

　A、0　 B、1　 C、2　 D、3

　思路分析：

　对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算。在运算中要注意不能把

　对数符号当作表示数的字母参与运算。如log_ax≠log_a·x，log_ax是不可分开的一个整体。4个选项都把对

　数符号当作字母参与运算，因此都是错误的。

　答案：A

[例6]已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，求 。

　思路分析：解本题的关键是设法将 _{的常用对数分解为2，3的常用对数代入计算。}

_解：



　　　　　　　　　　　　　　　 第三阶梯

[例7]若方程lg(ax)·lg(ax²)=4的所有解都大于1，求a的取值范围。

　思路分析：由对数的性质，方程可变形为关于lgx的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论问题。

　解：原方程化为

　　(lgx+lga)(lga+2lgx)=4。

　　2lg²x+3lga·lgx+lg²a-4=0，

　　令t=lgx，则原方程等价于

　　2t²+3tlga+lg²a-4=0，(*)

　　若原方程的所有解都大于1，则方程（*）的所有解均大于0，则

　　



_{说明：换元要确保新变量与所替换的量取值范围的一致性。}

[例8]将y=2^x的图像（ ）

　A、先向左平行移动1个单位

　B、先向右平行移动1个单位

　C、先向上平行移动1个单位

　D、先向下平行移动1个单位

　再作关于直线y=x对称的图像，可得函数y=log₂(x+1)的图像。

　思路分析：由于第二步的变换结果是已知的，故本题可逆向分析。

　解法1：在同一坐标系内分别作为y=2^x与y=log₂(x+1)的图像，直接观察，即可得D。

　解法2：与函数y=log₂(x+1)的图像关于直线y=x以对称的曲线是它的反函数y=2^x-1的图像，为了得到它，

　　　　 只需将y=2^x的图像向下平移1个单位。 

　解法3：

 　

　　　　 本身。函数y=2^x的图像向左或向右或向上平行移动都不会过(0，0)点，因此排除A、B、C，即得D。

　说明：本题从多角度分析问题、解决问题，注意培养思维的灵活性。

[例9]已知log₁₈9=a，18^b=5，求log₃₆45的值；（用含有a、b的式子表示）

　思路分析：

　当指数的取值范围扩展到有理数后，对数运算就是指数运算的逆运算（扩展之前开方运算是乘方运算的逆

　运算）。因此，当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般要把问题转化，即统一到一种表达形式

　上。

　解：由18^b=5，得b=log₁₈5，

　　　又log₁₈9=a，

　　　∴log₁₈9+log₁₈5=log₃₆45=a+b，则

　　　

　　　 　　

　说明：在解题过程中，根据问题的需要指数式转化为对数式，或者对数式转化为指数式运算，这正是数

　　　　学转化思想的具体体现，转化思想是中学重要的教学思想，要注意学习、体会，逐步达到灵活应

　　　　用。

三、检测题

 1、在b=log_(a-2)(5-a)中，实数a的范围是（ ）

　　A、a>5或a<2　　B、2<a<5　　  C、2<a<3或3<a<5　  D、3<a<4

 

_{B、1　　　　　 　　　　　　　　　　　  D、2}

 _{3、若logab=logba(a≠b)，则ab=（　）}

_{A、1　　B、2　  　　 D、4}

 4、若lg2=a，lg3=b，则log₅12等于（ ）

　 　　   

　　

　   　　　　　　　　　　　　　　　　

_{6、　 　 （　 ）}

 

 _{7、y=(0.2)-x+1的反函数是（ ）}

_{A、y=log5x+1(x>0)　　　　　　 B、y=log5x+1(x>0且x≠1)}

_{C、y=log5(x+1)(x>-1)　　　　　D、y=log5(x-1)(x>1)}

 _{8、已知y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）}

_{A、（0，1）　 B、（1，2）　 C、（0，2）　 D、[2，+∞）}

 _{9、若0<a<1，则log3(log3a)是（　）}

_{A、正数　　 B、负数　 C、零　 D、无意义}

 _{10、已知a=log32，那么log38-2log36用a表示是（  ）}

_{A.a-2　　B.5a-2　 C.3a-(1+a)2　 D.3a-a2-1}

 _{11、若log2[log0.5(log2x)]=0，则x=________。}

 _12、计算





_答案：

_{1—5　C　 A　 A　 C　 A}

_6—10　CD　B　D　A



　12、（1）原式=1；（2）原式=1。