反函数
一、学习目标
1、了解反函数的概念；
2、掌握求一引起简单函数的反函数；
3、了解互为反函数的函数图像间的关系，能解决与反函数图像有关的简单问题；
4、培养用辩证的观念观察、分析、解决问题的能力；
5、培养探索、猜想、辨证的思维习惯。
二、例题分析
第一阶梯
[例1]
分析：求反函数主要在于求解关于x的方程。
解：
∵原来函数的值域就是反函数的定义域。
∴由原来函数的值域为
说明：
反函数的定义域是原来函数的值域，应先求原来函数的值域，然后得出反函数的定义域，一般情
况下，不能直接从求得的反函数的解析式中得出，例如y=x3(x≥1)的反函数为 
，定义域是
{xx≥1}，而不是R。
[例2]
分析：x的求解须先平方后开方。
解：
由已知可求得原函数值域为0≤y≤5.
说明：
第二阶梯
[例3]
分析：
解：
说明：解题时要注意条件的演变。
[例4]
思路分析：
题中给出的函数的定义域有特定的限制，在求它的反函数时，要寻求使反函数存在的条件，进而
确定反函数的定义域和值域。
解答：
第三阶梯
[例5]
思路分析：根据反函数的概念求解。
解答：
解得：
[例6]
思路分析：
解答：
三、检测题
2.若函数y=f(x)的反函数是y=g(x),f(a)=b,ab≠0，则g(b)等于（ ）
A. a B. a-1 C. b D. b-1
3.若函数y=f(x)的图像经过点(1,0)，则函数y=f-1(x)的图像必经过点（ ）
A. (0,-1) B. (1,0) C. (-1,0) D. (0,1)
4.函数y=ax+b与它的反函数是同一个函数，则系数a，b必满足条件（ ）
A. a=1, b=0 B. a=-1, b=0
C. a=±1，
b=0 D. a=1, b=0或a=-1,
b 
R
A. 2,1,3 B. -2,-1,-3 C. 3,-1,-2 D. -1,3,-2
6.如果f(x)的图像经过点（1，2），那么y=f-1(x)-1的图像必过点__________.
7.若函数f(x)的图像经过(0,1)点，则f(x+2)的反函数的图像恒经过点____________.
9.已知命题：
（1）若互为反函数的两个函数的图像有个交点，则交点必在直线y=x上；
（2）互为反函数的两个函数有相同的单调性；
（3）函数y=f(x)与函数x=f-1(y)的图像关于直线y=x对称；
（4）函数y=f(x)在单调区间必存在反函数。
其中，正确的命题有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
10.若函数y=f(x)存在反函数，则方程f(x)=c(c为常数)（ ）
A、有且只有一个实根 B、至少有一个实根
C、至多有一个实根 D、没有实数根
11、设有三个函数，第一个函数是y=f(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数与第二个函数的
图像关于原点对称，那么第三个函数是（ ）
A. y=-f(x) B. y=f-1(-x) C. y=-f-1(-x) D. y=f-1(x)
12.函数y=f(x)的图像经过第三、四象限，则y=-f-1(x)的图像经过（ ）
A、第一、二象限 B、第二、三象限
C、第三、四象限 D、第一、四象限
13.函数f(x）=ax3+ax-1的反函数的图像必过点____________________.
14.已知函数f(x)是定义在R上单调递增的奇函数，又f-1(1+a)+f-1(1-a2)<0，试求a的取值范围。
15.若f(x-1)=x2-2x+3(x≤0)，求f-1(x)。
答案：
1—5 B A D D B
6、(2,0)
7、（1，-2）
8、-1
9、B
10、C
11、C
12、B
13、（-1，0）
14、 a<-1或a>2.
15、解：f(x-1)=(x-1)2+2,
∵f(x)=x2+2(x≤-1),
