第五节充要条件
【例1】在下列四个结论中，正确的有（ ）
（1）
是
的必要充分条件
（2）在
中，“
”是为直角三角形的充要条件；
（3）若
，则“
”，是“
全不为零”的充要条件；
（4）若，则“”是“不全为零”的充要条件。
A、（1）（2） B、（3）（4） C、（1）（4） D、（2）（3）
【例2】若非空集合
，则“
”是“
”的（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充要条件 D、既非充分又非必要条件
【例3】已知命题
，命题
，则有（ ）
A、p是q的充分不必要条件 B、p是q的必要不充分条件
C、p是q的充要条件 D、p是q的既非充分也非必要条件
【例4】设
、
，试判断
的什么条件。
【例5】若下列三个关于x的方程
中至少有一个方程的实根，求实数a的取值范围。
【例6】已知
，若p是q的充分而不必要条件，求证实数a的取值范围。
【例7】求证：关于x的方程
有实数根，且两根均小于2的充分但不必要条件是
。
双基训练
1、条件
，条件
，则q是p的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
B、充要条件 D、既不充分也不必要条件
2、若为实数，则
的（ ）
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
3、设A，B，C是三个集合，为使
，条件
是（ ）
A、必要条件 B、充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
4、三个数
不全为0的充要条件是（ ）
A、
都不是0 B、至多有一个是0
C、中只有一个是0 D、中至少有一个不是0
5、设
“
”是“
”的（ ）
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
6、用充分、必要条件填空：
①
；②
；③
。
7、给出下述条件：①四边形为等腰梯形。②四边形有两个角等于90º。③四边形有两个内角的和等于180º。④四边形的一个外角等于其内对角。则其中是四边形内接于圆的充分但不必要条件是 ，是四边形内接于圆的必要但不充分条件是 （填写序号）。
8、给出下述条件：①
，②
，③
，④
，⑤
在这些条件中，是“
都不为零”的充要条件、充分但不必要条件、必要但不充分条件、既不充分也不必要条件的分别是哪一些？
9、设命题p：关于x的不等式
与
的解集相同；命题q：
，则q是p的什么条件？说明理由。
10、设
，若A是B的必要但不充分条件，求实数的取值范围。
知识升华
1、“
且
”是“
”的（ ）
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
2、设
，则
或
的充分但不必要条件是（ ）
A、
B、
C、
D、
3、一个三角形为直角三角形的必要但不充分条件是（ ）
A、有两个内角相等
B、有两个内角分别等于30º和60º
C、一条边上的中线长等于该边长的一半
D、三个内角的和等于180º
4、有下述说法：①
是
的充要条件；②是
的充要条件；③是
的充要条件。则其中正确的说法有（ ）
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
5、已知
，设命题甲为：两个实数满足
，命题乙为：两个实数
满足
且
，那么（ ）
A、甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
B、甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件
C、甲是乙的充要条件
D、甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
6、命题p：“正数的平方根不等于零”，命题q：“若不是正数，则它的平方根等于
A、逆命题 B、否命题 C、逆否命题 D、等价命题
7、，那么
是
的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件
8、用充分、必要条件填空：
①
且
是
的 。②或是的 。
9、集合
是单元素集合的充要条件是 。
10、求使得关于
的不等式
的解集是充要条件。
11、设
，求证：
的充要条件是
，
12、已知关于的一元二次方程：①
；②
，求方程①②的根都是整数的充要条件。
挑战高考
1、“”是“
”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
2、条件p：
，条件q：
，则→p是→q的（ ）
A、充分条件但不是必要条件 B、必要条件但不是充分条件
C、充要条件 D、既不是充分条件又不是必要条件
3、若均为不等于零的实数，给出下列两个条件。条件甲：对于区间
上的一切值，
恒成立；条件乙：
，则甲是乙的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既非充分条件亦非必要条件
4、方程
至少有一个负根的充要条件是（ ）
A、
B、
C、
D、或
5、对一切实数，若二次函数
的值恒为非负数，
则
的最小值是（ ）
A、3 B、
D、
6、实系数一元二次方式
的两根分别在区间
和
上，
则
的取值范围是（ ）
A、
B、
C、
D、
7、对任意实数
，在下列命题中，真命题是（ ）
A、“
”是“
”的必要条件
B、“
”是“
”的必要条件
C、“”是“”的充分条件
D、“”是“”的充分条件
8、一元二次方程
有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A、
B、
C、
D、
9、已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件。那么p是q成立的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
10、设集合
，那么点
的充要条件是（ ）
A、
B、
C、
D、
11、
是不等式
成立的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
12、设命题p：
；命题q：
，若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数的取值范围是
。