第五节数列的应用
【例1】用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利息为1％，若首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批住房实际支付多少万元？
【例2】某房地产开发商采用分期付款方式向社会出售商品住房，具体事宜如下：
（1）每套商品住房售价为400000元；
（2）购房者必须在一年内将款全部付清；
（3）购房者可分3次或4次付款；月利率为5％，每月利息按复利计算。
计算分4次付款购买1套商品住房：每期应付款多少元？总计应付款多少元？与一次性付款的差额为多少元？
【例3】购买售价为4万的商品，在三年内按每期付款2.4万元、两次付清总贷款的方式付款，求月利率。
【例4】购买售价均为300
的两条河流Ａ、B汇合于某处后，不断混合，它们的含
量分别为2kg/m3和0.2kh/m3,假设从汇合处开始，沿岸设有若干观测点，两股水流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在单位时间内交换100m3的水量，即从A股流入B股100m3水，经混合后，又从B股流入A股100m3的水并混合，问从第几个观测站开始，两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m3（不考虑泥沙沉淀）
【例5】甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息如下图所示：
甲调查表明∶从第一年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡。
乙调查表明∶由第一年养鸡场个数30个减少到第6年的10个。
请您根据提供的信息说明∶
（1）第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数。
（2）到第6年这个县的养鸡业比第一年扩大了还是缩小了？请说明理由。
（3）哪一年的规模最大？请说明理由。
【例6】设
为常数，且
（1）证明：对任意
，
；
（2）假设对任意，有
，求的取值范围。
双基训练
1、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂成2个），经过3小时，这种细菌由一个可繁殖成__________________个
2、一个工厂的产值平均每月增长率为m，则在一年中十二月份产值比一月份增长的百分数是_________________
3、若
是等比数列，
，
，且公比q是整数，则
____
4、若
表示等差数列的前
祥和，已知S9=18，Sn=24，若
，则＝____
5、项数为2m的等比数列，中间两项是方程
的两根，那么这个数列的所有项的和是（ ）
A、
B、
C、
D、不同于以上的答案
6、某种产品三次调价，单价由原来的每克512元将到216元，则这种产品平均每次降价的百分率为_______________--
7、1984年年底世界人口达到54.8亿元，若人口的平均增长率为x％，2002年底世界人口数为y 亿，那么y与x的函数关系是_______________
8、有若干台型号相同的联合收割机，收割一片土地上的小麦，若同时投入工作至收割完毕需要24小时；若它们是每隔相同的时间顺序投入工作的，每一台投入工作后都一直工作到小麦收割完毕。如果第一台收割时间是最后一台的5倍，求用这种收割方法收割完这批小麦需要多长时间？
9、已知二次函数
（1）设函数
的图象的顶点的横坐标构成数列，求证：数列是等差数列；
（2）设函数的图象的顶点到y轴的距离构成数列
，求数列的前n项和。
（3）在（1）的条件下，若数列
满足
，求数列中值最大的项和值最小的项。
10、已知函数
（1）求函数
的反函数
；
（2）对于数列，设
，，求通项公式
；
（3）设
，
…+
，求
知识升华
1、等差数列中，
，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的平均值是4，则抽取的是（ ）
A、
B、
C、
D、
2、1990年我国工农业总产值为
千亿元，要实现邓小平同志提出的到2010年工农业总产值翻两番的战略目标，年平均增长率至少应达到____________________
3、设数列是首项为50，公差为2的等差数列，是首项为10，公差为4的等差数列，以
，
为相邻两边的矩形内最大圆的面积记为
，若
，那么
____
4、从盛满
升纯酒精的容器里到处
升，然后用水加满，再倒出升，再用水加满，这样连续倒了
次后，容器里还有___________________升酒精？
5、某人从2001年1月1日起，以后每年1月1日到银行新存入元（一年定期），若年利率为
保持不变，且每年到期存款均自动转为新一年定期，到2007年1月1日将所有存款及利息全部收回，他可取回的钱数为________________元
6、一竹梯有11条横档，相邻的档间距离相等，已知最下一档长度为50cm，最上一档长度为40cm，从下到上第7档的应是________cm
7、某县地处水乡，县政府计划从今年起用处理过的生活垃圾填河造地，该县每年以1％的速率减少填河面积，并为保持生态平衡，使填河总面积永远不会超过现有水面的四分之一，则今年所填面积只能占现有面积的百分数为___________-
8、某工厂产量第一年比上一年增加了x%，第二年又增加了m%，为使连续三年的平均增长率为n%，则第三年比第二年应再增加_________________
9、某村镇1992年的人口为1万人，人均住房面积为5m2,若该村镇每年人口的平均增长率为1％，欲使2002年底人均住房面积达10m2,那么每年平均需新建住房________m2
10、电器城有一个体户，一月初向银行贷款10万元作开店资金，每月底获得的利润是该月初投入资金的20％，每月底需交房租和所得税为该月所得金额（含利润）的10％，每月生活费和其它开支3千元，余款作为资金全部投入再营业，如此继续，那么到这一年年底，这位个体户有现款多少元（假设没有赊销）？若银行贷款的年利率为25％，则这位个体户还清银行贷款后，纯收入还有多少？
11、某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元。今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500
）万元（n为正整数）
（1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为
万元，进行技术改造后的累计纯利润为
万元（须扣除技术改造资金），求，的表达式。
（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
12、对任意函数
，可按右图所示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据
，经过数列发生器输出
；
②若
，则数列发生器结束工作；若
，则将
反馈回输入端，再输出
，并依次规律继续下去。现定义
。
（1）若输入＝
，则由数列发生器产生数列
，请写出数列的所有项；
（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初试数据的值；
（3）若输入时，产生的无穷数列满足：对任意正整数n，均有
，求的取值范围。
挑战高考
1、如右图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n项和为
。则
＝______
2、如图，五角星魅力无穷，一动点由A处按图中数字由小到大的顺序依次运动，当第一次运动结束回到A处时，数字为6，按此规律无限运动，则数字2004应在（ ）
A、B处 B、C处 C、D处 D、E处
3、某纺织厂的一个车间有n (n＞7,
台织布机，编号分别为1，2，3，……，n，该车间有技术工人n 名，编号分别为1，2，3，……，n。定义记号
，如果第
名工人操作了第
台织布机，此时规定＝1，否则＝0。若第7台织布机有且仅有一人操作，则
……+
＝______；若
+……+
＝2说明：_______
4、一个热气球在第一分钟时间里上升了25米高度，在以后的每一分钟时间里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80％，这个热气球最多能上升____________米
5、如图：第n个图形是由正
边“扩展”而来，
…）。则第
个图形中共有______________个顶点。
6、某种果树至少要培植五年才可以开始采果。有一农户于1991年初利用边角地种植了一批这种果树，1996年开始采果，当年的产量为156千克，1997年至2001年，连续5年每年的产量平均比上一年增加50％还多34千克。从2002年，由于管理等方面的原因导致产量开始下降，且平均每年比上一年减少10％，据估计这种情况还会继续下去。
（1）2001年，该农户采得这种水果多少千克？
（2）如果用表示该农户从1996年起的
年内采得这种水果的总量，试求出用表示的的表达式。并据此计算，到2003年底，该农户共采得这种水果多少千克？（精确到1千克）
7、为了保护三峡库区的生态环境，凡是坡度在25°以上的坡荒地都要绿化造林。经初步统计，在三峡库区内坡度大于25°的坡荒地面积约有2640万亩。若从2003年初开始绿化造林，第一年造林120万亩，以后每年比前一年多绿化60万亩。
（1）若所有被绿化造林的坡荒地全部成功，问哪一年底可使库区的坡荒地全部绿化？
（2）若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为0.1万立方米，每年树木木材量的自然生长率为20％，那么当整个库区25°以上坡荒地全部绿化完的那一年底，一共有木材多少万立方米？（保留一位小数，
）