第二节等差数列
【例1】在等差数列
中，已知
，求数列的通项公式；
【例2】设数列的前
项和为
，若对于所有的正自然数，都有
，证明：是等差数列。
【例3】在等差数列中，若
，求
【例4】已知是等差数列，且
，求
【例5】若两个等差数列的前项的和之比是
；
，求它们的第11项之比。
【例6】（1）若一个等差数列前3项之和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A、13项 B、12项 C、11项 D、10项
（2）在等差数列中，已知
，则
。
（3）在等差数列中，已知
，
则
。
【例7】等差数列中，
，前和为，且
，求数取得最大值的取值。
双基训练
1、等差数列中，已知
，则为（ ）
A、48 B、49 C、 D、51
2、夏季高山上气温从山脚到每升高100米降低0.7ºC，已知山顶气温是14.1ºC，山脚的气温是26ºC，那么此山相对于山脚的高度是（ ）
A、1500米 B、1600米 C、1700米 D、1800米
3、三个数6，3，-1顺次排成一行，在6和3之间插入两个实数，在3和-1之间插入一个实数，使得这六个数中的前三个，后三个组成等差数列，且插入的三个数本身顺次成等比数列，那么所插入的三个数的和是（ ）
A、7 B、
C、
D、
4、若
，数列
和
各自成等差数列，则
等于
（ ）
A、
B、
C、
D、
5、等差数列
中，
，则
（ ）
A、1 B、
C、
D、2
6、在等差数列中，满足
，且，是数列的前项的和，若
取得最大值，则
。
7、已知数列的前项和
，则过
两点的直线的斜率是 。
8、是等差数列，前10项的和为
，前100项的和为
，求前110项的和
9、设是等差数列，
，已知
，
，求等差数列
的通项
10、等比数列共有
项
，且各项均为正数，
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列
是等差数列，且
，判断数列前项的和
与数列
前项的和
的大小并加以证明。
知识升华
1、在等差数列中，
，若
，则等于（ ）
A、38 B、20 C、10 D、9
2、等差数列中，
，则此数列前20项和等于（ ）
A、160 B、180 C、200 D、220
3、在
和
两数之间插入个数，使他们与
组成等差数列，则该数列的公差为（ ）
A、
B、
C、
D、
4、数列的前项和为
，则这个数列一定是（ ）
A、等差数列 B、非等差数列 C、常数数列 D、等差或常数数列
5、若
成等差数列，则点
对应的曲线是下图中的（ ）
6、已知为等差数列，且
，则
（ ）
A、16 B、20 C、24 D、28
7、已知方程
的四个根组成一个首项为
的等差数列，则
（ ）
A、
B、 C、
D、
8、等差数列中，
，它的前11项的平均值是5，若从中抽取一项余下10项的平均值是4，则抽取的是第 项。
9、设数列的通项为
，则
。
10、设等差数列的前项和为，已知
，
（1）求公差
的取值范围；
（2）指出
中哪一个值最大？并说明理由。
11、已知实数比数列，满足
，且
（1）求数列的通项公式；
（2）如果至少存在一个自然数，恰使
这三个数依次成等差数列，问这样的实等比数列是否存在，若存在，求出通项公式；若不存在，说明理由。
12、设无穷等差数列的前项和为
（1）若首项
，公差
，求满足
的正整数
；
（2）求所有的无穷等差数列；使得对于一切正整数都有
成立。
挑战高考
1、已知等差数列的前项和为，且
，那么
（ ）
A、
B、
C、
D、
2、等差数列中，
；
，且
为数列的前项和，则使
两的最小值为（ ）
A、21 B、20 C、10 D、11
3、已知等差数列的前项和为，若
，则
等于（ ）
A、18 B、36 C、54 D、72
4、设数列为等差数列，且
，则
等于（ ）
A、501 B、
501 C、
D、
5、已知数列，那么“对任意的
，点
都在直线
”是“ 为等差数列”的（ ）
A、必要而不充分条件 B、充分而不必要条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
6、若数列是等差数列，首项
，则使前项和成立的最大自然数是（ ）
A、4005 B、4006 C、4007 D、4008
7、在数列中，
，且对于任意大于1的正整数，点
在直线
上，则
的值为（ ）
A、27 B、6 C、81 D、9
8、已知是等差数列
的前项和，且
，下列结论中不正确的是（ ）
A、
B、
C、
D、
9、在等差数列中，已知
，则
。
10、在等比数列中，
，则
用、表示为
。
11、已知正项数列
的前项和满足
；
（1）求证：是等差数列；
（2）设
，求数列的前项和的最小值。
12、已知等差数列的公差
，对任意，都有
（1）求证：对任意，所有方程
均有一个相同的实根；
（2）若
，方程
的另一不同根为，
，求数列的通项公式；
（3）在（2）的条件下，设
，求