第二节函数的单调性和奇偶性
【例1】利用函数单调性定义证明函数
在
上是减函数。
【例2】定义在R上的函数
，当
时，
，且对任意的
，有
（1）证明：
；（2）证明：对任意的
，恒有
；
（3）证明：
是R上的增函数；（4）若
，求
的取值范围。
【例3】讨论下列函数的单调性
（1）
（2）
（3）
【例4】讨论函数
在
上的单调性。
【例5】求函数
的单调增区间。
【例6】求函数
的单调区间。
【例7】设二次函数
（1）若的单调递增区间是
，求实数
的值；
（2）若在区间内是增函数，求实数的取值范围。
【例8】讨论下述函数的奇偶性：
（1）
；（2）
（3）
；（4）
（常数
）
【例9】设定义在
上的偶函数在区间
上单调递减，若
，求实数
的取值范围。
【例10】已知
是奇函数，它在
上是增函数，且
，试问
在
上是增函数还是减函数？证明你的结论。
【例11】设的定义域为
，且在上为增函数，
（1）求证
；
（2）设
，解不等式
双基训练
1、下述函数中，在
内为增函数的是（ ）
A、
B、
C、
D、
2、下述函数中，单调递增区间是的是（ ）
A、
B、
C、 D、
3、若函数在
内为减函数，则实数的取值是（ ）
A、
B、
C、
D、
4、若函数
在内单调递减，而在
内为增函数，则 的值为（ ）
A、1 B、
5、已知
是奇函数，那么实数的值等于（ ）
A、1 B、-1 C、0 D、
6、对于任意定义在R上的函数，若实数
满足
，则称是函数 的一个不动点，若函数
没有不动点，则实数的取值范围是 。
7、要使函数
在
上存在反函数，则的取值范围是 。
8、解答下列问题：
（1）定义在
上的奇函数在定义上是减函数，且
，求实数的取值范围。
（2）设函数是奇函数，在是一个恒小于零的减函数，试问
在上是增函数还是减函数？证明你的结论。
9、已知定义域为的函数满足：
①
时，；②
；③对任意的正实数
，都有
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求证：在定义域内为减函数；
（Ⅲ）求不等式
的解集。
10、已知函数
为奇函数，
，若在内为增函数，而在内为减函数，求的解析式。
知识升华
1、如果奇函数在区间
上是增函数，且最小值为，那么 在区间
上是（ ）
A、增函数且最小值为 B、增函数且最大值为
C、减函数且最小值为 D、减函数且最大值为
2、已知为偶函数，在上为减函数，若
，则方程
的根的个数是（ ）
A、2 B、2或1 C、3 D、2或3
3、已知是定义在R上的奇函数，当
时，
，那么
的值是（ ）
A、
B、
C、
D、
4、定义在R上的函数满足
，当
时，
，
则不等式
的解集是（ ）
A、
B、
C、
D、
5、设是R上的减函数，则下列关系成立的是（ ）
A、
B、
C、
D、
6、已知偶函数在
上单调递增，那么下列关系成立的是（ ）
A、
B、
C、
D、
7、设函数
为奇函数，
，则
（ ）
A、0 B、1 C、
D、5
8、对于函数
，下列性质正确的是有
①对于，都有
②在上函数单调递减
③在上函数单调递增 ④
不是函数的最小值
（请把正确的序号都填上，不能多填也不能少填）
9、是定义在R上的偶函数，其图象关于
对称，且当
时，
，则当
时，
。
10、已知函数
的图象与函数
的图象关于点
对称。
（1）求的值；
（2）若
在区间
上为减函数，求实数的取值范围。
11、函数的定义域是R，对任意
都有
；且时，
，求在
上的最大值和最小值。
12、设函数
是奇函数
，且
（1）求
的值；
（2）判断并证明在
上的单调性。
挑战高考
1、函数
的反函数为（ ）
A、
B、
C、
D、
2、已知对任意都有
，且当
时，
，
则
（ ）
A、
B、
C、
D、
3、（理）设奇函数在
上是增函数，且
，若函数
对所有的
都成立，当
时，则
的取值范围是（ ）
A、
B、
C、
或
或
D、
或
或
（文）已知函数在定义域内存在反函数，且
，则
（ ）
A、-4 B、-3 C、-2 D、-1
4、函数
在区间上存在反函数的充分必要条件是（ ）
A、
B、
C、
D、
5、设函数是定义在R上的奇函数，若
的最小正周期为3，且
，
，则的取值范围是（ ）
A、
B、且
C、
D、
或
6、已知函数是R上的减函数，
是其图象上的两点，那么不等式
的解集是（ ）
A、
B、
C、
D、
7、已知函数是奇函数，
是偶函数，它们的定义域为
，且它们在
上的图像如上图所示，则不等式
的解集为 。
8、已知函数满足：
，则
。
9、函数在
上是减函数，函数
是偶函数，则有（ ）
A、
B、
C、
D、
10、设函数
，则
的值是（ ）
A、
B、
C、
D、
11、定义在R上的函数满足
，且函数
为奇函数，
给出下列命题：①函数的最小正周期为
；②函数的图象关于点
对称；③函数的图象关于
轴对称。其中真命题的个数是（ ）
A、3 B、2 C、1 D、0
12、定义在R上的偶函数在
上递减，且
，则满足
的的集合为（ ）
A、
B、
C、
D、
13、若函数是奇函数，且方程有三个根
、
、
，则++的值
（ ）
A、是-1 B、是3 C、是0 D、不确定