普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．满分 150分．考试时间120分钟
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）圆
的圆心到直线
的距离是
（A）
（B）
（C）1 （D）
（2）复数
的值是
（A）
（B）
（C）
（D）1
（3）不等式
的解集是
（A）
（B）
且
（C）
（D）
且
（4）在
内，使
成立的
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）设集合
，
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）点
到曲线
（其中参数
）上的点的最短距离为
（A）0 （B）1 （C）
（D）2
（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）正六棱柱
的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线
与
所成的角是
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）函数
（
）是单调函数的充要条件是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）函数
的图象是
（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有
（A）8种 （B）12种 （C）16种 （D）20种
（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为
（A）115000亿元 （B）120000亿元 （C）127000亿元 （D）135000亿元
第II卷(非选择题共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．
（13）函数
在
上的最大值与最小值这和为3，则
＝
（14）椭圆
的一个焦点是
，那么
（15）
展开式中
的系数是
（16）已知
，那么
＝
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）已知
，
，求
、
的值。
（18）如图，正方形
、
的边长都是1，而且平 面 、互相垂直。点
在
上移动，点
在
上移动，若
（
）
（I）求
的长；
（II）为何值时，的长最小；
（III）当的长最小时，求面
与面
所成二面角
的大小。
（19）设点
到点
、
距离之差为
，到、
轴的距离之比为2，求
的取值范围。
（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
（21）设为实数，函数
，
（I）讨论
的奇偶性；
（II）求的最小值。
（22）设数列
满足：
，
（I）当
时，求
并由此猜测
的一个通项公式；
（II）当
时，证明对所的
，有
（i）
（ii）
数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.
（1）A （2）C （3）D （4）C （5）B （6）B
（7）C （8）B （9）A （10）B （11）B （12）C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.
（13）2
（14）1 （15）1 008
（16）
三、解答题
（17）本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能.满分12分.
解：由倍角公式，
……………2分
由原式得
………………8分
，
……………12分
（18）本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.
解：（Ⅰ）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得
MP∥NQ，且MP=NQ，
即MNQP是平行四边形，∴ MN=PQ. ……………3分
|
∴ AC=BF=，
即 
. ………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ），
所以，当
即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为
……9分
|
∵ AM=AN，BM=BN，G为MN的中点
∴ AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角α的平面角，
又AG=BG=
，所以，由余弦定理有
故所求二面角
. ……………12分
（19）本小题主要考查直线、双曲线等基础知识，考查基本运算、逻辑推理能力.满分12分.
解法一：设点P的坐标为（x,y），依题设得
=2，
即
①………2分
因此，点P（x,y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得
因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2m的双曲线上，故
②…………6分
将①式代入②，并解得
， ……………8分
解得
.
即m的取值范围为
……………12分
解法二：设点P的坐标为（x,y），依题设得
，即
. ①…………2分
由PM－PN=2m，得 
②…………4分
由②式可得
所以，
. ……………6分
由②式移项，两边平方整理得
将①式代入，整理得
. ③…………8分
③式右端大于0，
.
综上，得m满足
即m的取值范围为
……………12分
（20）本小题主要考查为数列、数列的极限等基础知识，考查建立数学模型、运用所学知识解决实际问题的能力.满分12分.
解：设2001年末汽车保有量为b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆，…，每年新增汽车x万辆，则
………………2分
对于n>1，有
………………6分
当
………………8分
当
并且数列{bn}逐项增加，可以任意靠近
. ……………10分
因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即
.
则
（万辆）.综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.………12分
（21）本小题主要考查函数的概念、函数的奇偶性和最小值等基础知识，考查分类讨论的思想和逻辑思维能力.满分12分.
解：（Ⅰ）当
为偶函数.
………………2分
当
.
此时函数既不是奇函数，也不是偶函数. ………………4分
（Ⅱ）（i）当
若
上单调递减，从而，函数
上的最小值为
若
，则函数
上的最小值为
………7分
（ii）当
时，函数
若
若
……………10分
综上，当
当
当
……………12分
（22）本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力.满分14分.
解：（Ⅰ）由
由
由此猜想的一个通项公式：
………4分
（Ⅱ）（i）用数学归纳法证明：
①当
，不等式成立. ………………6分
②假设当
时不等式成立，即
，那么
也就是说，当
根据①和②，对于所有
……………10分
（ii）由
（i），对
……………12分
于是
……14分