普通高等学校春季招生考试数学卷
数 学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
参考公式： 正棱台、圆台的侧面积公式
三角函数的积化和差公式
其中
、
分别表示上、下底面周长，
表示斜高或母线长
球体的体积公式 
其中
表示球的半径
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）集体
的子集个数是
（A）32 （B）31 （C）16 （D）15
（2）函数
对于任意的实数
都有
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）
（A）0 （B）2 （C）
（D）
（4）函数
的反函数是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）极坐标系中，圆
的圆心的坐标是
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）设动点P在直线
上，O为坐标原点．以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰
，则动点Q的轨迹是
（A）圆 （B）两条平行直线 （C）抛物线 （D）双曲线
（7）已知
，那么
等于
（A）
（B）8 （C）18 （D）
（8）若A、B是锐角
的两个内角，则点
在
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
（9）如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）若实数
满足
，则
的最小值是
（A）18 （B）6 （C）
（D）
（11）右图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
|
平行
②CN与BE是异面直线
③CN与BM成角
④DM与BN垂直
以上四个命题中，正确命题的序号是
（A）①②③ （B）②④
（C）③④ （D）②③④
（12）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的
个月内累积的需求量
（万件）近似地满足
按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是
（A）5月、6月 （B）6月、7月 （C）7月、8月 （D）8月、9月
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
（13）已知球内接正方体的表面积为S，那么球体积等于_______________．
（14）椭圆
长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是_______________．
（15）已知
、
、
均为锐角），那么
的最大值等于____________________．
（16）已知
、是直线，
、、是平面，给出下列命题：
① 若
，则
；
②若
∥，
，则∥；
③若不垂直于，则不可能垂直于内的无数条直线；
④若
，∥，且
，则∥
∥．
其中正确的命题的序号是_______________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）设函数
，求
的单调区间，并证明在其单调区间上的单调性．
（18）已知
．
（Ⅰ）证明
；
（Ⅱ）设
的辐角为，求
的值．
（19）已知VC是所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且在 的高CD上．
之间的距离为
．
（Ⅰ）证明∠MDC是二面角M–AB–C的平面角；
（Ⅱ）当∠MDC=∠CVN时，证明VC
；
（Ⅲ）若∠MDC=∠CVN=
，求四面体MABC的体积．
|
（20）在1与2之间插入
个正数
，使这
个数成等比数列；又在1与2之间插入个正数
，使这个数成等差数列．记
．
（Ⅰ）求数列
和
的通项；
（Ⅱ）当
时，比较
与
的大小，并证明你的结论．
（21）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为
，则出厂价相应提高的比例为0.75
，同时预计年销售量增加的比例为0.6．已知年利润=（出厂价–投入成本）
年销售量．
（Ⅰ）写出本年度预计的年利润
与投入成本增加的比例的关系式；
（Ⅱ）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例应在什么范围内？
（22）已知抛物线
．过动点M（
，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，
．
（Ⅰ）求
的取值范围；
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交轴于点N，求
面积的最大值．
普通高等学校春季招生考试
数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．
（1）A （2）C （3）D （4）C （5）A （6）B
（7）D （8）B （9）C （10）B （11）C （12）C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
（13）
（14）
（15）
（16）②④
三、解答题
（17）本小题主要考查函数的单调性及不等式的基础知识，考查数学推理判断能力．满分12分．
解：函数
的定义域为
在
内是减函数，在
内也是减函数 ……4分
证明在内是减函数
取
，且
，那么
……6分
∵
∴
即在内是减函数
……9分
同理可证在内是减函数
……12分
（18）本小题主要考查复数的基本概念和基本运算，考查综合运用复数的知识解决问题的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）由 
，
得
． ……4分
因为 
，
，
所以 ． ……6分
（Ⅱ）因为
，
所以 
，而
，所以
，
，同理
，
．
由（Ⅰ）知 
，
即 
，
所以
的实部为
， ……8分
而的辐角为时，复数的实部为
，
所以 
……12分
（19）本小题主要考查线面关系的基本概念，考查运用直线与直线、直线与平面的基本性质进行计算和证明的能力．满分12分．
（Ⅰ）证明：由已知，
，
∴
．
∴
． ……2分
又V、M、N、D都在VNC所在平面内，
所以，DM与VN必相交，且
，
∴∠MDC为二面角
的平面角． ……4分
（Ⅱ）证明：由已知，∠MDC=∠CVN，
在
中，
∠NCV=∠MCD，
又∵∠VNC=，
∴∠DMC=∠VNC=．
故有
， ……6分
∴
． ……8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ），
，
∴
．
又∵∠
．
在
中，
． ……10分
． ……12分
（20）本小题主要考查等差数列、等比数列的基础知识，考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法．满分12分．
解：（I）∵
成等比数列，
∴
，
∴
∴
……4分
∵
成等差数列，∴
，
∴
所以，数列的通项，数列的通项
……6分
（II）∵，，
∴
，
要比较与的大小，只需比较
与
的大小，也即比较当时，
与
的大小．
当
时，
，
，得知
，
经验证
时，均有命题成立．
猜想当时有．用数学归纳法证明． ……9分
（i）当时，已验证，命题成立．
（ii）假设
时，命题成立，即
，
那么 
又当
时，有
∴
这就是说，当
时，命题成立．
根据（i）、（ii），可知命题对于都成立．
故当时，
……12分
（21）本小题主要考查建立函数关系、不等式的性质和解法等内容，考查运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）由题意得
，
……4分
整理得 
． ……6分
（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即 
……9分
解不等式得
．
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例应满足
．
……12分
（22）本小题考查直线与抛物线的基本概念及位置关系，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力．满分14分．
解：（Ⅰ）直线的方程为
，
将 
，
得 
． ……2分
设直线与抛物线两个不同交点的坐标为
、
，
则 
……4分
又
，
∴ 
． ……6分
∵ 
，
∴ 
．
解得 
． ……8分
（Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为
，则由中点坐标公式，得
，
． ……10分
∴ 
．
又 
为等腰直角三角形，
∴ 
，
∴ 
． ……12分
即
面积最大值为
……14分