普通高等学校招生全国统一考试安数学卷-高中三年级数学试题练习、期中期末试卷、测验题、复习资料-高中数学试卷-试卷下载

普通高等学校招生全国统一考试安数学卷

数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页．第II卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）设集合A和B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B　中的元素，则在映射下，象20的原象是

（A） 2　　　　　　　　　　（B） 3　　　　　　　　　　（C） 4　　　　　　　　　　（D） 5

（2）在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是

（A） 2　　　　　　　（B）　　　　　（C）　　　　　（D） 3

（3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，，，这个长方体对角线的长是

（A） 2　　　　　　　（B） 3　　　　　　　（C） 6　　　　　　　　　　（D）

（4）已知，那么下列命题成立的是

（A）若、是第一象限角，则

（B）若、是第二象限角，则

（C）若、是第三象限角，则

（D）若、是第四象限角，则

（5）函数的部分图象是

（6）《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：

全月应纳税所得额	税率
不超过500元的部分	5%
超过500元至2000元的部分	10%
超过2000元至5000元的部分	15%
…	…

某人一月份应交纳此项税款26．78元，则他的当月工资、薪金所得介于

（A） 800~900元　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（B） 900~1200元

（C） 1200~1500元　　　　　　　　　　　　　　　　　（D） 1500~2800元

（7）若，P=，Q=，R=，则

（A） RPQ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（B） PQ R　

（C） Q PR　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（D） P RQ

（8）以极坐标系中的点为圆心，1为半径的圆的方程是

（A）　　　　　　　　　　　　　　（B）

（C）　　　　　　　　　　　　　　　　（D）

（9）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是

（A）　　　　　（B）　　　　　　（C）　　　　　（D）

（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是

（A）　　　　（B）　　　（C）　　　（D）

（11）过抛物线的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是、，则等于

（A）　　　　　　　　（B）　　　　　　　　（C）　　　　　　　　（D）

（12）如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一　　　　　　　　　　周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为

（A）　　　　（B）　

（C）　　　　（D）

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线．

（13）乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛．3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有_____种（用数字作答）．

（14）椭圆的焦点为、，点P为其上的动点，当为钝角时，点P 横坐标的取值范围是________．

（15）设是首项为1的正项数列，且（=1，2，3，…），则它的通项公式是=________．

（16）如图，E、F分别为正方体的面、面　　　　　　　　　　　　　　的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能　是_______．（要求：把可能的图的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

已知函数，．

（I）当函数取得最大值时，求自变量的集合；

（II）该函数的图象可由的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

（18）（本小题满分12分）

如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且===．

（I）证明：⊥BD；

（II）假定CD=2，=，记面为，面CBD为，求二面角的平面角的余弦值；

　　（III）当的值为多少时，能使平面？请给出证明．

（19）（本小题满分12分）

设函数，其中．

（I）解不等式；

（II）求的取值范围，使函数在区间上是单调函数．

（20）（本小题满分12分）

（I）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；

（II）设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列．

（21）（本小题满分12分）

某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示．

（Ⅰ）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式P=；

　写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=；

（Ⅱ）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？

（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天）

（22）（本小题满分14分）

如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当时，求双曲线离心率的取值范围．

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数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分．

（1）C　　　（2）B　　　（3）D　　　（4）D　　　（5）D　　　（6）C　　

（7）B 　　　（8）C　　　（9）A　　　（10）C　　（11）C　　　（12）D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分．

（13）252　　（14）－　　　（15）　　　（16）②③

三、解答题

（17）本小题主要考查三角函数的图象和性质，考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．满分12分．

解：（Ⅰ）

y=cos²x＋sinxcosx＋1

=（2cos²x－1）＋＋（2sinxcosx）＋1

=cos2x＋sin2x＋=（cos2x·sin＋sin2x·cos）＋

=sin（2x＋）＋　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ——6分

y取得最大值必须且只需

2x＋=＋2kπ，k∈Z，

即 x=＋kπ，k∈Z．

所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为

{xx=＋kπ，k∈Z }　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——8分

（Ⅱ）将函数y=sinx依次进行如下变换：

（i）把函数y=sinx的图象向左平移，得到函数y=sin（x＋）的图象；

（ii）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x＋）的图象；

（iii）把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x＋）的图象；

（iv）把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数y=sin（2x＋）＋的图象；综上得到函数y=cos²x＋sinxcosx＋1的图象．　　　　　　　　　　　　　——12分

（18）本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，满分12分．

（Ⅰ）证明：连结A₁C₁、AC、AC和BD交于O，连结C₁O．

∵ 四边形ABCD是菱形，

∴ AC⊥BD，BD=CD．

又∵∠BCC₁=∠DCC₁，C₁C= C₁C，

∴ △C₁BC≌△C₁DC

∴ C₁B=C₁D，

∵ DO=OB

∴ C₁O⊥BD，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ——2分

但AC⊥BD，AC∩C₁O=O，

∴ BD⊥平面AC₁，

又C₁C平面AC₁

∴ C₁C⊥BD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ——4分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BD，C₁O⊥BD，

∴ ∠C₁OC是二面角α—BD—β的平面角．

在△C₁BC中，BC=2，C₁C=，∠BCC₁=60º，

∴ C₁B²=2²＋（）²－2×2××cos60º=　　　　　　　　　　　　　　 ——6分

∵ ∠OCB=30º，

∴ OB=BC=1．

∴C₁O²= C₁B²－OB²=，

∴ C₁O=即C₁O= C₁C．

作 C₁H⊥OC，垂足为H．

∴ 点H是OC的中点，且OH=，

所以cos∠C₁OC==．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——8分

（Ⅲ）当=1时，能使A₁C⊥平面C₁BD

证明一：

∵ =1，

∴ BC=CD= C₁C，

又∠BCD=∠C₁CB=∠C₁CD，

由此可推得BD= C₁B = C₁D．

∴ 三棱锥C－C₁BD是正三棱锥．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ——10分

设A₁C与C₁O相交于G．

∵ A₁ C₁∥AC，且A₁ C₁∶OC=2∶1，

∴ C₁G∶GO=2∶1．

又C₁O是正三角形C₁BD的BD边上的高和中线，

∴ 点G是正三角形C₁BD的中心，

∴ CG⊥平面C₁BD．

即A₁C⊥平面C₁BD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ——12分

证明二：

由（Ⅰ）知，BD⊥平面AC₁，

∵ A₁ C平面AC₁，∴BD⊥A₁ C．　　　　　　　　　　　　　　　　　——10分

当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，

同BD⊥A₁ C的证法可得BC₁⊥A₁C，

又BD⊥BC₁=B，

∴ A₁C⊥平面C₁BD．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ——12分

（19）本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、推理能力．满分12分．

解：（Ⅰ）不等式f（x） ≤1即

≤1＋ax，

由此得1≤1＋ax，即ax≥0，其中常数a＞0．

所以，原不等式等价于

即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ——3分

所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为{x0}；

当a≥1时，所给不等式的解集为{xx≥0}．　　　　　　　　　　　　　　——6分

（Ⅱ）在区间[0，+∞]上任取x₁、x₂，使得x₁＜x₂．

f（x₁）－f（x₂）= －－a（x₁－x₂）

　　　　 =－a（x₁－x₂）

　　　　 =（x₁－x₂）（－a）．　　　　　　　　　　　　　——8分

（ⅰ）当a≥1时

∵ <1

∴ －a<0，

又x₁－x₂<0，

∴ f（x₁）－f（x₂）>0，

即f（x₁）>f（x₂）．

所以，当a≥1时，函数f（x）在区间上是单调递减函数．　　　　　——10分

（ii）当0<a<1时，在区间上存在两点x₁=0,x₂=，满足f（x₁）=1，f（x₂）=1，即f（x₁）=f（x₂），所以函数f（x）在区间上不是单调函数．

综上，当且仅当a≤1时，函数f（x）在区间上是单调函数．　　　　 ——12分

（20）本小题主要考查等比数列的概念和基本性质，推理和运算能力，满分12分．

解：（Ⅰ）因为{c_n₊₁－pc_n}是等比数列，故有

（c_n₊₁－pc_n）²=（ c_n₊₂－pc_n+₁）（c_n－pc_n_－₁），

将c_n=2ⁿ＋3ⁿ代入上式，得

[2ⁿ^＋1+3ⁿ^＋1－p（2ⁿ＋3ⁿ）]²

=[2ⁿ^＋2+3ⁿ^＋2－p（2ⁿ⁺¹＋3ⁿ⁺¹）]·[2ⁿ+3ⁿ－p（2ⁿ^－1＋3ⁿ^－¹）]，　　　　　　　　　　 ——3分

即[（2－p）2ⁿ+（3－p）3ⁿ]²

=[（2－p）2ⁿ⁺¹+（3－p）3ⁿ⁺¹][ （2－p）2ⁿ^－¹+（3－p）3ⁿ^－¹]，

整理得（2－p）（3－p）·2ⁿ·3ⁿ=0，

解得p=2或p=3．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ——6分

（Ⅱ）设{a_n}、{b_n}的公比分别为p、q，p≠q，c_n=a_n+b_n．

为证{c_n}不是等比数列只需证≠c₁·c₃．

事实上，=（a₁p＋b₁q）²=p²＋q²＋2a₁b₁pq，

c₁·c₃=（a₁＋b₁）（a₁ p²＋b₁q²）= p²＋q²＋a₁b₁（p²＋q²）．

由于p≠q，p²＋q²>2pq，又a₁、b₁不为零，

因此c₁·c₃，故{c_n}不是等比数列．　　　　　　　　　　　　　　　 ——12分

（21）本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力，满分12分．

解：（Ⅰ）由图一可得市场售价与时间的函数关系为

f（t）=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——2分

由图二可得种植成本与时间的函数关系为

g（t）=（t－150）²＋100，0≤t≤300．　　　　　　　　　　　　　　　　——4分

（Ⅱ）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得

h（t）=f（t）－g（t）

即h（t）=　　　　　　　　　　　　　——6分

当0≤t≤200时，配方整理得

h（t）=－（t－50）²＋100，

所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100；

当200<t≤300时，配方整理得

h（t）=－（t－350）²＋100

所以，当t=300时，h（t）取得区间[200，300]上的最大值87．5．　　　　 ——10分

综上，由100>87．5可知，h（t）在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．　　　　　　　　　　 ——12分（22）本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力，满分14分．

解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xoy，则CD⊥y轴．

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于x轴对称．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ——2分

依题意，记A（－c，0），C（，h），E（x₀, y₀），其中c=AB为双曲线的半焦距，h是梯形的高．