普通高等学校招生全国统一数学考试1
数 学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式：
三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式
其中
、
分别表示上、下底面
周长，
表示斜高或母线长.
球体的体积公式：
，其中R表示球的半径.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
（1）设集合
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）设
，则
（A）y3>y1>y2 （B）y2>y1>y3 （C）y1>y2>y3 （D）y1>y3>y2
（3）“
”是“
”的
（A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
（4）已知α，β是平面，m，n是直线.下列命题中不正确的是
（A）若m∥n，m⊥α，则n⊥α （B）若m∥α，α∩β=n，则m∥n
（C）若m⊥α，m⊥β，则α∥β （D）若m⊥α，
，则α⊥β
（5）极坐标方程
表示的曲线是
（A）圆 （B）椭圆 （C）抛物线 （D）双曲线
（6）若
且
的最小值是
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
（7）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有
（A）24种 （B）18种 （C）12种 （D）6种
（9）若数列
的通项公式是
，则 
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令
, 其中i=1，2，…，k，且j=1，2，…，k，则同时同意第1，2号同学当选的人数为
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
（11）函数
中，
是偶函数.
（12）以双曲线
右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是
（13）如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .
（14）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 .
三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
已知函数
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）若
，求的最大值、最小值.
（16）（本小题满分13分）
已知数列
是等差数列，且
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）令
求数列
前n项和的公式.
（17）（本小题满分15分）
如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=
D是CB延长线上一点，且BD=BC.
（Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D；
（Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小；
（Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积.
（18）（本小题满分15分）
如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M（0，r）（
（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）直线
交椭圆于两点
直线
交椭圆于两点
求证：
；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C，D，G，H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q.
求证：OP=OQ. （证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形）
（19）（本小题满分14分）
有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，（建立坐标系如图）
（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，
点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，
点P应位于何处？
（20）（本小题满分14分）
设
是定义在区间
上的函数，且满足条件：
（i）
（ii）对任意的
（Ⅰ）证明：对任意的
（Ⅱ）证明：对任意的
（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数，且使得
若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.
普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学（理工农医类）答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分.
（1）A （2）D （3）A （4）B （5）D （6）B （7）C （8）B （9）C （10）C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
（11）
（12） 
（13） 
（14）
三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识，考查运算能力，满分13分.
（Ⅰ）解：因为
所以的最小正周期
（Ⅱ）解：因为
所以
当
时，
取得最大值
；当
时，取得最小值－1. 所以在
上的最大值为1，最小值为－
（16）本小题主要考查等差、等比数列等基本知识，考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力.满分13分.
（Ⅰ）解：设数列
公差为
，则 
又
所以
（Ⅱ）解：令
则由
得
①
②
当
时，①式减去②式，得
所以
当
时, 
综上可得当时,
当时，
（17）本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 满分15分.
（Ⅰ）证明：CD//C1B1，又BD=BC=B1C1， ∴ 四边形BDB1C1是平行四边形， ∴BC1//DB1.
又DB1
平面AB1D，BC1
平面AB1D，∴直线BC1//平面AB1D.
（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB1，
∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD ，
∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角，
∵BD=BC=AB，
∴E是AD的中点， 
在Rt△B1BE中，
∴∠B1EB=60°。即二面角B1—AD—B的大小为60°
（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，
∴AF⊥平面BB1C1C，且AF=
即三棱锥C1—ABB1的体积为
解法二：在三棱柱ABC—A1B1C1中，
即三棱锥C1—ABB1的体积为
（18）本小主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.
（Ⅰ）解：椭圆方程为
焦点坐标为
离心率
（Ⅱ）证明：将直线CD的方程代入椭圆方程，得
整理得
根据韦达定理，得
所以
①
将直线GH的方程
代入椭圆方程，同理可得
，
由①，②得
所以结论成立.
（Ⅲ）证明：设点P（p,0），点Q（q,0），由C、P、H共线，
得
解得
，
由D、Q、G共线，同理可得
变形得
即
所以
（19）本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.
（Ⅰ）解：由题设可知，
记
设P的坐标为（0，
），则P至三镇距离的平方和为
所以，当
时，函数
取得最小值. 答:点P的坐标是
（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为 
由
解得
记
于是
当
即
时，
在[
上是增函数，而
上是减函数. 由此可知,当
时,函数
取得最小值. 当
即
时,函数
在[
上,当
时,取得最小值
,而上为减函数,且
可见, 当时, 函数取得最小值. 答当时,点P的坐标为
当时,点P的坐标为(0,0),其中
解法二:P至三镇的最远距离为 
由
解得
记于是 
当
的图象如图
，因此，当
时，函数取得最小值.
当
即
的图象如图
，因此，当
时，函数取得最小值.
答：当时，点P的坐标为
当，点P的坐标为（0，0），其中
解法三：因为在△ABC中，AB=AC=
所以△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为
，
且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，
若
（如图1），则点M在线段AO上，
这时P到A、B、C三点的最远距离为
P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M
重合时，P到三镇的最远距离最小.
若
(如图2),则点M在线段AO外,这时
P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，
且P1C≥OC，P2A≥OC，所以点P与BC边中点O重合时，
P到三镇的最远距离最小为.
答：当
时，点P的位置在△ABC的外心
；当
时，点P的位置在原点O.
（20）本小题考查函数、不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当
时，有
即
（Ⅱ）证法一：对任意的
当
不妨设
则
所以，
综上可知，对任意的
都有
证法二：由（Ⅰ）可得，当
所以，当
因此，对任意的
当
时，
当
时，有
且
所以
综上可知，对任意的都有
（Ⅲ）答：满足所述条件的函数不存在.
理由如下，假设存在函数满足条件，则由
得
又
所以
①
又因为为奇数，所以
由条件
得 
② ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.