2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文史类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页，共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．
参考公式：
三角函数的和差化积公式
正棱台、圆台的侧面积公式
其中c’、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长
球体的体积公式
其中R表示球的半径
一、选择题：本大题共10小题，第小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设集合
，则A∩B等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）设
则
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）“
”是“
”的
（A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件
（4）已知a、b是平面，m、n是直线．下列命题中不正确的是
（A）若m∥a，a∩b=n，则m∥n
（B）若m∥n，m⊥a，则n⊥a
（C）若m⊥a，m⊥b，则a∥b
（D）若m⊥a，mÌb，则a⊥b
（5）如图，直线l：
过椭圆的左焦点F1和一个顶点B该椭圆的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）若z∈C且z＋2－2i＝1，则z－2－2i的最小值是
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
（7）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）若数列
的通项公式是
…，则
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有
（A）24种 （B）18种 （C）12种 （D）6种
（10）某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k．规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”．令
其中i＝1，2，…，k．且j＝1，2，…，k．则同时同意第1，2号同学当选的人数为
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共9页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．
（11）已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为______________．
（12）函数
，
，
中，_____________是偶函数．
（13）以双曲线
的右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是______________．
（14）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为______________．
三、解答题：本大题共6小题，共84分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）
已知函数
．
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）求的最大值、最小值．
（16）（本小题满分13分）
已知数列
是等差数列，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令
，求数列
前n项和的公式．
（17）（本小题满分15分）
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点，AB＝（A）
（Ⅰ）求证：A1D⊥B1C1；
（Ⅱ）求点D到平面ACC1的距离；
（Ⅲ）判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．
（18）（本小题满分15分）
如图，A1、A为椭圆的两个顶点，F1、F2为椭圆的两个焦点．
（Ⅰ）写出椭圆的方程及其准线方程；
（Ⅱ）过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P1两点点，直线A1P与AP1交于点M．
求证：点M在双曲线
上．
（19）（本小题满分14分）
有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB＝AC＝13km，BC＝10km．今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处．（建立坐标系如图）
（Ⅰ）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？
（Ⅱ）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P应位于何处？
（20）（本小题满分14分）
设
是定义在区间[－1，1]上的函数，且满足条件：
（ⅰ）
；
（ⅱ）对任意的u，v∈[－1，1]，都有
≤
．
（Ⅰ）证明：对任意的x∈[－1，1]，都有
≤≤
；
（Ⅱ）判断函数
是否满足题设条件；
（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的函数，且使得对任意的u，v∈[－1，1]，都有＝．
若存在，请举一例；若不存在，请说明理由．
2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学参考答案（文史类）
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
（1）Ａ （2）D （3）A （4）A （5）D
（6）B （7）C （8）B （9）B （10）C
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
（11）３ （12）
（13）
（14）
三、解答题：本大题共6小题，共84分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）本小题主要考查三角函数的倍角、和角公式，以及三角函数的性质等基本知识；考查运算能力．满分13分．
（Ⅰ）解：因为
所以
的最小正周期
．
（Ⅱ）解：因为
所以的最大值为
，
最小值为
．
（16）本小题主要考查等差、等比数列等基本知识；考查综合运用数学知识和方法解决问题的能力．满分13分．
（Ⅰ）解：设数列的公差为d，
则
，
又
所以
（Ⅱ）解：由
，得
， ①
②
将①式减去②式，得
所以
．
（17）本小题主要考查直线与平面的位置关系，正棱柱的性质等基本知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力．满分15分．
（Ⅰ）证法一：∵点D是正△ABC中BC边的中点，∴AD⊥B（C）
又A1A⊥底面ABC，∴A1D⊥B（C）
∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1．
证法二：连结A1C，则A1C＝A1．
∵点D是等腰△A1C B的底边BC的中点，
∴A1D⊥BC
∵BC∥B1C1，∴A1D⊥B1C1．
（Ⅱ）解法一：作DE⊥AC于E，
∵平面ACC1⊥平面AB（C）
∴DE⊥平面ACC1于E，
即DE的长为点D到平面ACC1的距离．
在Rt△ADC中，
∴所求距离
解法二：设点D到平面ACC1的距离为x．
∵体积
，
∴
，
∴
，即点D到平面ACC1的距离为
．
（Ⅲ）答：直线A1B∥平面ADC1．证明如下：
证法一：如图1，连结A1C交AC1于F，则F为A1C的中点．
∵D是BC的中点，∴DF∥A1（B）
又DFÌ平面ADC1，A1BË平面ADC1，
∴A1B∥平面ADC1．
证法二：如图2，取C1B1的中点D1，则AD∥A1D1，C1D∥D1 B，
∴AD∥平面A1D1B，且C1D∥平面A1D1B，
∴平面ADC1∥平面A1D1（B）
∵A1BÌ平面A1D1B，
∴A1B∥平面ADC1．
图1 图2
（18）本小题主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识；考查分析问题和解决问题的能力．满分15分．
（Ⅰ）解：由图可知：
，所以
．
该椭圆的方程为
，准线方程为
．
（Ⅱ）证明：设K点坐标为
．点P，P1的坐标分别记为
，
，其中
，则
……①
直线A1P，P1A的方程分别为：
， ……②
． ……③
②式除以③式得
．
化简上式得
，代入②式得
．
于是，直线A1P与AP1的交点M的从标为
．
因为
，
所以，直线A1P与AP1的交点M在双曲线上．
（19）本小题主要考查函数，不等式等基本知识；考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设P的坐标为
，则P至三镇距离的平方和为
，
所以，当
时，函数
取得最小值．
答：点P的坐标是
．
（Ⅱ）解法一：P至三镇的最远距离为
由
解得
，记
，于是
因为
在
上是增函数，而
在
上是减函数，
所以，当
时，函数
取得最小值．
答：点P的坐标为
．
解法二：P至三镇的最远距离为
由
解得 ，记，于是
函数
的图象如图（a），因此，
当时，函数取得最小值．
答：点P的坐标为．
解法三：因为△ABC中，
，且
，
，如图（b）．所以△ABC的外心M在线段AO上，其坐标为
，且
．
当P在射线MA上，记P为P1；
当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2．
这时P到A，B，C三点的最远距离为P1C或P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以，点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小．
答：点P的坐标为．
（20）本小题主要考查函数和不等式等基本知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）证明：由题设条件可得，当
时，有
即
（Ⅱ）答：函数
满足题设条件．验证如下：
．
对任意的u，v∈[－1，1]，
当u，v∈[0，1]时，有
；
当u，v∈ [－1，0]时，同理有
；
当
时，不妨设u∈ [－1，0]，v∈（0，1），有
．
所以，函数满足题设条件．
（Ⅲ）答：这样的函数不存在．理由如下：
假设存在满足条件，则由，得
． ①
由于对任意的u，v∈[－1，1]，都有
，
所以，
． ②
①与②矛盾，因此假设不成立，即这样的函数不存在．