普通高考测试题数学（二）
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．第一部分1至2页，第二部分3至4页，满分
分，考试时间
分钟．
第一部分（选择题，共50分）
注意事项：
1. 答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考生号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3. 考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件
、
互斥，那么 球的表面积公式
， 
如果事件、相互独立，那么 其中
表示球的半径
，
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合
,
,则
的元素个数为
A．0 个 B.1 个 C.2 个 D.无穷多个
2.
A．
B．
C．
D．不存在
3.设复数：
为实数，则b=
A．2 B.1 C.－1 D.－2
4.在平面直角坐标系中，函数
的图象
A．关于
轴对称 B．关于原点轴对称 C．关于
轴对称 D．关于直线
轴对称
5.在△ABC中，D分BC的比
，则
A．
B．
C．
D．
6.设三棱锥的3个侧面两两互相垂直，且侧棱长均为
，则其外接球的表面积为
A.
B. 
C.
D.
7．已知集合A
，那么为区间
A．
B. 
C. 
D. 
8.设a,b,c表示三条直线，
表示两个平面，下列命题中不正确的是
A． 
B.
C. 
D.
9. 设
是双曲线
上任一点，过P作双曲线两条渐近线的平行线分别交另一条渐近线于Q、R，O为坐标原点，则平行四边形OQPR的面积为
A．
B. 
C.
D.不能确定
10．定义在R上的函数
，满足
，且
，那么在下面四个式子 ①
②
③
④
中与
相等的是
A．①③ B. ①② C. ①②③④ D.①②③
第二部分（非选择题，共100分）
注意事项：
1. 第二部分共2页，用黑色钢笔或圆珠笔直接答在答题卷中．
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷相应题目上．
11.已知函数
和
互为反函数，则
= ，
.
12.已知一盒子中有散落的围棋棋子10粒，其中7粒黑子，3粒白子，从中任意取出2粒，若
表示取得白子的个数，则E等于 ．
13.已知
的展开式中第5项为含有
的项，则展开式中倒数第二项的系数是
．
14.在条件
下, 
的取值范围是________ ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分12分）
已知函数
恒过点
．
（1）求的值；
（2）求函数
的最小正周期及单调递减区间．
16．（本题满分13分）
我省某校要进行一次月考，一般考生必须考5 门学科，其中语、数、英、综合这四科是必考科目，另外一门在物理、化学、政治、历史、生物、地理、英语Ⅱ中选择.为节省时间，决定每天上午考两门，下午考一门学科，三天半考完．
（1）若语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场考试，则“考试日程安排表”有多少种不同的安排方法；
（2）如果各科考试顺序不受限制，求数学、化学在同一天考的概率是多少？
17．（本题满分13分）
一个计算装置有一个数据入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列
中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列
，结果表明：①从 A口输入
时，从B口得
；②当
时，从A口输入
，从B口得的结果
是将前一结果
先乘以自然数列中的第
个奇数，再除以自然数列中的第
个奇数．试问：
⑴从 A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？
⑵从 A口输入100时，从B口得到什么数？说明理由.
18、（本题满分14分）
在棱长为2的正方体
—
中E、F 分别是棱AB、BC上
的动点，且AE=BF．
（1）求证：
；
（2）当AE为何值时，三棱锥
的体积最大，
求此时二面角
—EF—B的大小（结果用反三角函数表示）．
19、（本题满分14分）
如图，已知E、F为平面上的两个定点
，
，且
，
·
，（G为动点，P是HP和GF的交点）
（1）建立适当的平面直角坐标系求出点
的轨迹方程；
（2）若点的轨迹上存在两个不同的点
、
，且线段
的中垂线与
（或的延长线）相交于一点
，则
＜
（
为的中点）．
20、（本小题满分14分）
设函数
、
R）．
（1）若
，过两点（0，0）、（
，0）的中点作与轴垂直的直线，与函数 的图象交于点
，求证：函数在点P处的切线过点（，0）；
（2）若
），且当
时
恒成立，求实数的取值范围．
普通高考测试题（二）
数学
答案及评分意见
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
| 题 号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答 案 | C | A | D | B | C | B | A | D | C | D |
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
11．1，3
12．
13．
14．
三、解答题：
15、（本题满分12分）
解（1）依题意得
-------------------2分
解得
---------------------------4分
（2）由
----6分
∴函数的最小正周期
-------8分
由
，得
---------10分
∴函数的单调递减区间为
----12分
16、解：（1）语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场考试共有：
种排法，
-------------1分
其它七科共有
种排法， -------------2分
由
=
，得 -------------3分
“考试日程安排表”有种不同的安排方法．-------------4分
（2）数学、化学安排第四天上午考共有：
种方法，---------6分
安排前三天同一天考共有：
种方法 ---------8分
∴所求的概率
-----12分
17、（本题满分13分）
解：（1）由题意知
-----------2分
-------------3分
所以从 A口输入2和3时，从B口分别得到
和
-------4分
（2）猜想
---------------6分
下面用数学归纳法证明
ⅰ）当
时，猜想显然成立．
---------------7分
ⅱ）假如
时，猜想成立，
即
，
那么
时，
=
=
---------------10分
猜想成立，因此对一切正整数，猜想也成立
当
时，即在从
A口输入2006时，从B口得到
---------------13分
18、（本题满分14分）
（1）证明：如图，以D为原点建立空间直角坐标系．-------1分
设 AE=BF=，则
、
、
、
， ------------------3分
，
∵
·
，-----5分
∴⊥
----------------6分
（2）解：记
，
，则
，-----8分
三棱锥
的体积
当且仅当
时，等号成立
故当AE=1时，三棱锥的体积取得最大值-----10分
此时，
，过作
交于
，连
，可知
，
∴
是二面角
的平面角，------12分
在直角三角形
中，直角边，
是斜边上的高，
∴
，
，
故二面角的大小为
。---------14分
19、（本题满分12分）
解：（1）如图1，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，
建立平面直角坐标系。----------------------------------------1分
由题设，
∴
，而
-------------3分
∴点是以
、
为焦点、长轴长为10的椭圆，
故点的轨迹方程是：
-----------------4分
（2）如图2 ，设
，
，
，
∴
，且
，--------------------------------6分
即
又、在轨迹上，
∴
，
即
，
---------------8分
代入整理得：
∵，∴
．---------------------10分
∵
，
，∴
．
∵，∴
∴
，即＜．---------------14分
20、（本题满分14分）
解：
（1）由已知
…………2分
所求，所求切线斜率为
…………4分
切线方程为
所以，函数过点P的切线过点（,0） …………6分
（2）因为
，所以
，
当
时，函数
上单调递增，在（
，）单调递减，
在
上单调递增. …………8分
所以，根据题意有 
即
解之得
，结合，所以
．…………10分
当
时，函数
单调递增．
所以，根据题意有
即
， 整理得
（
）
令
，
，所以“”不等式无解． …13分
综上可知：
．
…………14分