全国高考数学试卷三
(必修+选修II)
第一卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、 已知
为第三象限的角，则
所在的象限是( )
A 第一或第二象限 B 第二或第三象限 C第一或第三象限 D 第二或第四象限
解：α第三象限，即
,
∴
,可知在第二象限或第四象限,选(D)
2、已知过点
和
的直线与直线
平行，则的值为 ( )
A 
B 
C 
D 
解：直线2x+y-1=0的一个方向向量为
=(1,-2),
,由
即(m+2)×(-2)-1×(4-m)=0,m=-8,选(B)
3、若
的展开式中
的系数是( )
A 
B 
C 
D 
解：(x+1)8展开式中x4,x5的系数分别为
,
,∴(x-1)(x+1)8展开式中x5的系数为
,选(B)
4、设三棱柱
的体积为
，
分别是侧棱
、
上的点，且
，则四棱锥
的体积为( )
A 
B 
C 
D 
解：如图，
,∵AF=QC1,
∴APQC1,APQC都是平行四边形,
∴=
(
)
=
=
,选(C)
5、
( )
A 
B C 
D 
解：
,选(A)
6、若
，则( )
A 
B 
C 
D 
解：由题意得a=
,b=
,c=
,
∵
,∴c<a<b,选(C)
7、设
，且
，则（ ）
A 
B 
C 
D 
解：∵由得sinx-cosx=sinx-cosx,又,
∴,选(C)
8、
( )
A 
B 
C 1 D
解：
,选(B)
9、已知双曲线
的焦点为
，点
在双曲线上且
，则点到
轴的距离为（ ）
A 
B 
C 
D
解：由,得MF1⊥MF2,不妨设M(x,y)上在双曲线右支上，且在x轴上方,则有(ex-a)2+(ex+a)2=4c2，即(ex)2+a2=2c2,∵a=1,b=
,c=,e=,得x2=,y2=
,由此可知M点到x轴的距离是,选(C)
10、设椭圆的两个焦点分别为，过
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点
，若
为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A 
B 
C 
D 
解：由题意可得
,∵b2=a2-c2e=
,得e2+2e-1=0,∵e>1,解得e=,选(D)
11、不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（ ）
A 3个 B 4个 C 6个 D 7个
解：共有7个，它们是由四个定点组成的四面体的三对异面直线间的公垂线的三个中垂面；四面体的四条高的四个中垂面，选(D)
12、计算机中常用的十六进制是逢16进1的记数制，采用数字0-9和字母A-F共16个记数符号；这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
| 十六进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
| 十进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则
（ ）
A 6E B 72 C 5F D B0
解：∵A=10,B=11,又A×B=10×11=110=16×6+14,∴在16进制中A×B=6E,∴选(A)
二、填空题：本大题共4 个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。
13、已知复数：
，复数
满足
，则复数
解：设z=a+bi,由(3+2i)(a+bi)=3(a+bi)+3+2i,得3a-2b=3a+3,2a+3b=3b+2,∴a=1,b=
,
∴z=1-
i
14、已知向量
，
，
，且A、B、C三点共线，则
解：
,由题意得(4-k)(-2)-2k×7=0,解得k=
15、设
为平面上过点
的直线，的斜率等可能地取
，用
表示坐标原点到的距离，则随机变量的数学期望
。
解：随机变量可能的取值为x1=
,x2=,x3=,x4=1,它们的概率分别为p1=
,p2=,p3=,
p4=
,∴随机变量ζ的数学期望Eζ=
=
16、已知在
中，
，是
上的点，则点到
的距离乘积的最大值是
解：P到BC的距离为d1,P到AC的距离为d2,则三角形的面积得3d1+4d2=12,∴3d1
4d2≤
,∴d1d2的最大值为3,这时3d1+4d2=12, 3d1=4d2得d1=2,d2=
三、解答题：本大题共6个小题，共74分。
17、（本小题满分12分）
设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125
（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少；
（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率
18、（本小题满分12分）
如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，
侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD
（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD
（Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小
19、（本小题满分12分）
中，内角
的对边分别是
，已知成等比数列，且
（Ⅰ）求
的值
（Ⅱ）设
，求
的值。
20（本小题满分12分）
在等差数列
中，公差
，
是
与
的等比中项，已知数列
成等比数列，求数列的通项
21、（本小题满分12分）
设
，
两点在抛物线
上，是的垂直平分线。
（Ⅰ）当且仅当
取何值时，直线经过抛物线的焦点
？证明你的结论；
（Ⅱ）当直线的斜率为2时，求在
轴上截距的取值范围。
22、（本小题满分14分）
已知函数
，
（Ⅰ）求
的单调区间和值域；
（Ⅱ）设
，函数
，若对于任意
，总存在
，使得
成立，求
的取值范围
全国高考数学试卷三参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | D | B | B | C | A | C | C | B | C | D | D | A |
二、填空题：本大题共4 个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上。
13．
14．
15．
16．
三、解答题：本大题共6个小题，共74分。
17．解：（Ⅰ）求已知得
解得：
，
，
所以甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5
（Ⅱ）记
的对立事件为
，
的对立事件为
，
的对立事件为
，
则：
，
，
于是
所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7
18．方法一：（Ⅰ）证明：
（Ⅱ）解：取VD的中点E，连结AE，BE
∵VAD是正三角形
∴AE⊥VD，AF=
AD
∵AB⊥平面VAD ∴AB⊥AE
又由三垂线定理知BE⊥VD
因此，
是所求二面角的平面角
于是，
即得所求二面角的大小为
方法二：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标系。
（Ⅰ）证明：不妨设
，则
，
由
，得
又
，因而与平面
内两条相交直线
都垂直。
∴
平面
（Ⅱ）解：设
为
中点，则
由
，得
，又
因此，是所求二面角的平面角。
∵
∴解得所求二面角的大小为
19．解：（Ⅰ）由得
由
及正弦定理得
于是
（Ⅱ）由得
，由可得
，即
由余弦定理 
得
∴ 
20．解：依题设得
，
∴
，整理得
∵ ∴
得
所以，由已知得
是等比数列
由，所以数列
也是等比数列，首项为1，
公比为
，由此得
等比数列的首项，公比
，所以
即得到数列的通项为
21．解：（Ⅰ）
两点到抛物线的准线的距离相等，
∵抛物线的准线是轴的平行线，
，依题意
不同时为0
∴上述条件等价于
∵
∴上述条件等价于
即当且仅当时，经过抛物线的焦点。
（Ⅱ）设在轴上的截距为
，依题意得的方程为
；过点
的直线方程可写为
，所以
满足方程
得
为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式
，即
设的中点
的坐标为
，则
，
由
，得
，于是
即得在轴上截距的取值范围为
22．解：对函数求导，得
令
解得 
或
当变化时，
、的变化情况如下表：
| x | 0 |
|
|
|
|
|
|
| 0 |
| ||
|
|
|
|
|
|
|
所以，当
时，是减函数；当
时，是增函数；
当
时，的值域为
（Ⅱ）对函数
求导，得
因此，当时， 
因此当时，为减函数，从而当时有
又
，
，即当
时有
任给
，
，存在使得，则
即
解
式得 或
解
式得 
又，
故：的取值范围为