普通高等学校娄数学招生全国统一考试1
考生注意：
1. 答案前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.
2. 本试卷共有22道试题，满分150分. 考试时间120分钟. 请考生用钢笔或圆珠笔答案直接写在试卷上.
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.
（1） 设函数
，则满足
的x值为
.
（2）设数列｛a n｝的首项a1=－7，则满足
则a1+a2+…+a17= .
（3）设P为双曲线
上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是
.
（4）设集合
，则A∩B的元素个数为
个.
（5）抛物线x2－4y－3=0的焦点坐标为 .
（6）设数列｛a n｝是公比q>0的等比数列，Sn是它的前n项和，若
，则此数列的首项a1的取值范围是
.
（7）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种。现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种 种.（结果用数值表示）
（8）在
的二项展开式中，常数项为
.
（9）设x=sin α，且
，则arccosx的取值范围是
.
（10）利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是 .
| 自然状况 |
盈利（万元） 概率 | A1 | A2 | A3 | A4 |
| S1 | 0.25 | 50 | 70 | -20 | 98 |
| S2 | 0.30 | 65 | 26 | 52 | 82 |
| S3 | 0.45 | 26 | 16 | 78 | -10 |
方案（11）已知两个圆：
①与
②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程。将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例。推广的命题为：
.
（12）据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一，左下图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为：
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分.
（13）a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件
（14）如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若
则下列向量中与
相等的向量是
（A）
（B）
（C）
（D）
（15）已知a、b为两条不同的直线，α、β为两上不同的平面，且a⊥α、b⊥β，则下列命题中的假命题是
（A）若a∥b，则a∥β. （B）若α⊥β，则a⊥b.
（C）若a、b相交，则α、β相交. （D）若α、β相交，则a、b相交.
（16）用计算器验算函数
的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是
（A）
在（1，＋∞）上是单调减函数
（B），x∈（1，＋∞）有最小值
（C），x∈（1，＋∞）的值域为
（D）
三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
（17）（本题满分12分）
已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积。若a=4，b=5，
，求c的长度.
[解]
（18）（本题满分12分）
设F1、F2为椭圆
的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且PF1>PF2，求
的值.
〔解〕
（19）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
在棱长为a的正方体OABC－O’A’B’C’中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF.
（1）求证：A’F⊥C’E;
（2）当三棱锥B’－BEF的体积取得最大值时，求二面角B’－EF－B的大小。（结果用反三角函数表示）
（1）[证明]
（2）[解]
（20）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分.
对任意一人非零复数z，定义集合
（1）设z是方程
的一个根.试用列举法表示集合Mz，若在Mz中任取两个数，求其和为零的概率P;
（2）若集合Mz中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由.
[解] （１）
（２）
（21）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的
，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上。设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x).
（１）试规定f(0)的值，并解释其实际意义；
（２）试根据假定写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质；
（３）设
。现有a(a>0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由。
[解]（１）
（２）
（３）
（22）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
对任意函数f(x)，x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x0∈D，经按列发生器，其工作原理如下：
②若x1∈D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=
f(x1)，并依此规律继续下去，现定义
.
（１）若输入
，则由数列发生器产生数列｛xn｝。请写出数列｛xn｝的所有项：
（２）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x0的值；
（３）若输入x0时，产生的无穷数列｛xn｝满足；对任意正整数n，均有xn > xn+1，求x0的取值范围。
[解]（１）
（２）
（３）
数学试卷（类）答案要点及评分标准
说明：
１．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。
２．评阅试卷，就坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响决定后面的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
３．第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数，给分或扣分均以1分为单位。
解答
一、（第1题至第12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。
（1）3． （2） 153 （3）x2－4y2＝1. （4）1
（5）
（6）（０，７） （7）7 （8）15
（9）
（10）A3
（11）设圆方程：
①，
②
（a≠c或b≠d），则由①－②，得两圆的对称轴方程。
（12）
二、（第13题至第16题）每一题正确的给4分。
（13）C （14）A （15）D （16）D
三、（第17题至第22题）
（17）[解]∵
∴ 
……（４分）
于是∠C＝60°，或∠C＝120°. ……（6分）
又
当 ∠C＝60°时，
……（9分）
当 ∠C＝120°时，
……（12分）
（18） [解法一]由已知
……（4分）
根据直角的不同位置，分两种情况：
若∠PF2F1为直角，则
即 
得 
故
……（9分）
若∠F1PF2为直角，则
即 
得 
故
……（12分）
[解法二] 由椭圆的对称性不妨设P(x，y) （x>0，y>0），
则由已知可得 
……（4分）
根据直角的不同位置，分两种情况：
若∠PF2F1为直角，则
于是故 ……（9分）
若∠F1PF2为直角，则
，
解得
即
于是故 ……（12分）
（说明：两种情况，缺少一种扣3分）
（19）（１）[证明]如图，以O为原点建立空间直角坐标系。
设AE＝BF＝x，则
A’(a，0，a)、F(a－x，a，0)、C’(0，a，a)、E(a，x，0)
……（4分）
∵ 
∴ A’F⊥C’E.
（２）[解]记BF=x，BE＝y，则 x+y=a，
三棱锥B’－BEF的体积
当且仅当
时，等号成立。
因此，三棱锥B’－BEF的体积取得最大值时，
……（10分）
过Ｂ作BD⊥EF交EF于D，连B’D，可知B’D⊥EF.
∴ ∠B’DB是二面角B’－EF－B的平面角。
在直角三角形BEF中，直角边
是斜边上的高，
∴ 
故二面角B’－EF－B的大小为
……（14分）
（20）[解] （1）∵ z是方程
的根，
∴ z1=i 或 z2=－i. ……（2分）
不论 z1=i 或 z2=－i，
……（8分）
于是 
……（10分）
（2）取
，则
及
于是
或取
（说明：只需写出一个正确答案。）
（21）[解]（１）f(0)=1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样。 ……（2分）
（2）函数f（x）应该满足的条件和具有的性质是：
在[0,+∞]上f(x)单调递减，且0<f(x)≤1. ……（8分）
（3）设仅清洗一次，残留的农药量为
清洗两次后，残留的农药量为
……（12分）
则
于是，当
时，f1>f2;
当
时，f1＝f2;
当
时，f1<f2;
当时，清洗两次后残留的农药量较少；
当时，两种清洗方法具有相同的效果；
当时，一次清洗残留的农药量较少.
……（16分）
（22）[解]（１）∵ f(x)的定义域D＝（－∞，－１）∪（－１，＋∞），∴ 数列｛xn｝只有三项：
……（3分）
（2）∵ 
，即 
∴ x＝１，或x＝２.
即当x0=1或2时，
故当x0=1时，xn=1; 当x0=2时，xn=2 (n∈N). ……（9分）
（3）〔证法一〕设xn<0 (n∈N).
由
得
得
得
∵ 
∴ 同时使x1、x2、x3为负数的x0不存在。
故所求的x0不存在。 ……（18分）