普通高等学校数学招生全国统一考试2
数 学（理工农医类）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至10页.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
2．每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上.
3．考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式：
如果事件A、B互斥,那么 正棱锥、圆锥的侧面积公式
P（A·B）=P（A）·P（B） 其中c表示底面周长,L表示斜高或母线长
Pn(k)=CknPk(1-P)n-k 其中S表示底面积,h表示高
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
（1）函数
的周期，振幅依次是
（A）4π、3 （B）4π、-3 （C）π、3 （D）π、-3
（2）若Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2,则{an}是
（A）等比数列,但不是等差数列 （B）等差数列,但不是等比数列
（C）等差数列,而且也是等比数列 （D）既非等比数列又非等差数列
（3）过点A（1,-1）、B（-1,1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是
（A）(x-3)2+(y+1)2=4 （B）(x+3)2+(y-1)2=4
（C）(x-1)2+(y-1)2=4 （D）(x+1)2+(y+1)2=4
（4）若定义在区间（-1,0）内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）若定义在区间（-1，0）内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0，则a的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）设A、B是x轴上的两点,点P的横坐标为2且PA=PB.若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是
（A）x+y-5=0 （B）2x-y-1=0 （C）2y-x-4=0 （D）2x+y-7=0
（7）若
，则
（A）a<b （B）a>b （C）ab<1 （D）ab>2
（8）函数y=1+3x-x2有
（A）极小值-1，极大值1 （B）极小值-2，极小值3
（C）极小值-2，极大值2 （D）极小值-1，极大值3
（9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场,得3分；平一场,得1分；负一场,得0 分. 一球队打完15场,积33分.若不考虑顺序,该队胜、负、平的可能情况共有
（A）3种 （B）4种 （C）5种 （D）6种
（10）设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点，则
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）3 （Ｄ）－3
（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3. 若屋顶斜面与水平面所成的角都是а, 则
（A）P3>P2>P1 （B）P3>P2=P1 （C）P3=P2>P1 （D）P3=P2=P1
（12）如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联.连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为
（A）26 （B）24 （C）20 （D）19
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共8页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中.
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
（13）
（14）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是_______________. (用数字作答)
（15）在空间中,
①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线.
②若两条直线没有公共点,则这两条线是异面直线.
以上两个命题中,逆命题为真命题的是__________（把符合要求的命题序号都填上）.
（16）设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.若{Sn}是等差数列,则q=_______.
三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
（18）(本小题满分12分)
如图,用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2.当元件A、B、C都正常工作时,系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时,系统N2正常工作.已知元件A、B、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90.分别求系统N1、N2正常工作的概率P1、P2.
（19）(本小题满分12分)
（Ⅰ）求a的值:
（Ⅱ）证明f(X)在(0,+∞)上是增函数
注意：考生在（20甲）、（20乙）两题中选一题作答,如果两题都答,只以（20甲）计分.
（20甲）（本小题满分12分）
如图,以正四棱锥V—ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O—xyz,其中Ox//BC,Oy//AB.E为VC中点,正四棱锥底面边长为2a,高为h.
（Ⅱ）记面BCV为а,面DCV为β,若∠BED是二面角а-VC-β的平面角,求cos∠BED的值
（20乙）（本小题满分12分）
如图,在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=1,AD＝
．
（Ⅰ）求四棱锥S—ABCD的体积；
（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
（21）某电厂冷却塔的外形是如图所示双曲线的一部分绕其中轴（即双曲线的虚轴）旋转所成的曲面，其中A、A是又曲线的顶点，C、C是冷却塔上口直径的两个端点，B、B是下底直径的两个端点，已知AAˊ=14m,CCˊ=18=22m，塔高20m。
（Ⅰ）建立坐标系并写出该双曲线方程：
（Ⅱ）求冷却塔的容积（精确到10m3，塔壁厚度不计，π取3.14）.
（22）（本小题满分14分）
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）证明这4个交点共圆,并求圆半径的取值范围.
普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准
说明：
一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
三．解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四．只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分60分.
（1）A （2）B （3）C （4）A （5）B （6）A
（7）A （8）D （9）A （10）B （11）D （12）D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
（13）
（14）1.2 （15）② （16）1
三、解答题
（17）本小题主要考查分式不等式的解法，考查分类讨论的数学思想，满分12分。
解：原不等式的解集是下面不等式组（Ⅰ）、（Ⅱ）的解集的并集：
（Ⅰ）
（Ⅱ）
……2分
分情况讨论
（ⅰ）当a <0或a >1时，有a < a2，
此时，不等式组（Ⅰ）的解集为∣x∣a < x < a2∣,
不等式组（Ⅱ）的解集为空集Ф ……6分
（ⅱ）当0 < a < 1时，有a2 < a，
此时，不等试组（Ⅰ）的解集为空集Ф
不等式组（Ⅱ）的解集为∣x∣a2 < x < a∣； ……10分
（ⅲ）当a = 0或a = 1时，原不等式无解，
综上，当a < 0或a > 1时，原不等式无解集为∣x∣a < x < a2∣；
当0 < a < 1时，原不等式的解集为∣x∣a2 < x < a∣；
当a=0或a=1时，原不等式的解集为Ф ……12分
（18）本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法,考 查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.
解：分别记元件A、B、C正常工作为事件A、B、C,由已知条件
P(A)=0.80，P(B)=0.90，P(C)=0.90.
（Ⅰ）因为事件A、B、C是相互独立的,所以,系统N1正常工作的概率
P1=P(A·B·C)
=P(A)·P(B)·P(C)
=0.80×0.90×0.90=0.648.
故系统N1正常工作的概率为0.648. ……5分
（Ⅱ）系统N2正常工作的概率
∵
……10分
∴ P2=0.80×[1-0.10×0.10]=0.80×0.99=0.792.
故系统N2正常工作的概率为0.792. ……12分
（19）本小题主要考查函数的奇偶性和单调性等基本性质，指数函数和不等式的基本性质和运算，以及综合分析问题的能力，满分12分。
（Ⅰ）解：依题意，对一切x∈R有f (x)=f (-x)，即
所以
对一切x∈R成立
由此得到
，即a2=1
……4分
又因为a > 0，所以a = 1.
(Ⅱ)证明一：设0 < x1 < x2，
……8分
由x1>0，x2>0，x2-x1>0,，得x1+x>0，
ex2-x1－1>0，1－ex2+x1<0．
∴ f (x1)－f (x2) < 0,
即f (x)在（0，+∞）上是增函数， ……12分
证明二：由f (x)=ex+e-x,得
f′(x)=ex－e-x=e-x(e2x－1). ……8分
当x∈(0,+∝)时，有e-x(e2x－1).
此时f′(x)>0,
所以f (x)在（0，+∞）上是增函数。 ……12分
注意：考生在（20甲）、（20乙）两题中选一题作答,如果两题都答,只以（20甲）计分.
（20甲）本小题考查空间直角坐标的概念、空间点和向量的坐标表示以及两个向量夹角的计算方法；考查运用向量研究空间图形的数学思想方法.满分12分.
解：（Ⅰ）由题意知B(a，a，0)，C(－a，a，0)，D(－a，－a，0)，
由此得 
∴ 
……3分
由向量的数量积公式有
（Ⅱ）若∠BED是二面角a―VC―b的平面角，则
,即有
又C(－a，a，0)，V(0，0，h)，那么
，且
∴ 
即
，这时有
……9分
即
……12分
（20乙）本小题考查线面关系和棱锥体积计算,考查空间想象能 力和逻辑推理能力.满分12分.
解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是
……2分
∴四棱锥S—ABCD的体积是
……4分
（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱……6分
∵AD//BC，BC=2AD，
∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB，
∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线,
又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，
所以∠BSC是所求二面角的平面角……10分
∵ 
∴ 
即所求二面角的正切值为
……12分
（21）本小题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解言程组等基础知识，考查应用所学积分知识、思想和方法解决实际问题的能力。满分12分。
解：（Ⅰ）如图建立直解坐标系系xOy，AA′在x轴上，AA′的中点为坐标原点O，CC′与BB′平行于x轴。
设双曲线方程为
，则
……2分
又设B（11，y1）,C(9,y2),因为点B、C在双曲线上，所以有
①
②
由题意知
y2-y1=20 ③ ……6分
由①、②、③得
y1=－12,
y2=8,
故双曲线方程为
……6分
（Ⅱ）由双曲线方程得
设冷却塔的容积为V（m3）,则
经计算得V≈4.25·103(m3). ……12分
答：冷却塔的容积为4.25·103m3.
（22）本小题主要考查坐标法、曲线的交点和三角函数性质等基础知识,以及逻辑推理能力和运算能力.满分14分.
解：（Ⅰ）两曲线的交点坐标（x，y）满足方程组
即 
……4分
有4个不同交点等价于x2>0且y2>0,即
又因为
，所以得q 的取值范围为
． ……8分
（Ⅱ）由（Ⅰ）的推理知4个交点的坐标（x，y）满足方程x2+y2=2cosq 
，即得4个交点共圆，该圆的圆心在原点，半径为
．
因为cosq 在
上是减函数，所以由cosq＝1，
知r的取值范围是