普通高等学校数学招生全国统一考试4

普通高等学校数学招生全国统一考试4

数学（文史财经类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

注意事项：

1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．

2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．

3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．

参考公式：

三角函数的积化和差公式 　　　　　　　 正棱台、圆台的侧面积公式

S台侧 其中c′、c分别表示上、下底面周长， l表示斜高或母线长 台体的体积公式 V台体 其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1） tg300°＋ctg405°的值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（A） 　　　　　 （B） 　　　　　 （C） 　　　　（D）

（2）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是　　　

（A） （x－3）²＋（y＋1）² = 4　　　　　　　　（B） （x＋3）²＋（y－1）² = 4

（C） （x－1）²＋（y－1）² = 4　　　　 （D） （x＋1）²＋（y＋1）² = 4

（3） 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的面积是　　

（A） 3π　　　　　　　　　 （B） 　　　　　　（C） 6π　　　　　　　　　 （D） 9π

（4） 若定义在区间（－1，0）内的函数f （x） = log_2a（x＋1）满足f （x）＞0，则a的取值范围是

（A）（）　　　　　 （B） 　　　　　 （C） （，＋∞） （D） （0，＋∞）

（5） 已知复数，则是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（A） 　　　　　　　　　（B） 　　　　　　　 （C） 　　　　　　　　　（D）

（6）函数y = 2^－x＋1（x＞0）的反函数是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（A），x∈（1，2）　　　　　 （B） ，x∈（1，2）

（C） ，　　　　　　　（D） ，

（7） 若椭圆经过原点，且焦点为F₁ （1，0） F₂ （3，0），则其离心率为　　　　　

（A） 　　　　　　　　　（B） 　　　　　　　　　（C） 　　　　　　　　　（D）

（8）若0＜α＜β＜，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b，则　　　　　　　　　　　　　　　　

（A） a＜b　　　　　　　 （B） a＞b　　　　　　　 （C） ab＜1　　　　　　 （D） ab＞2

（9）在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，若，则AB₁ 与C₁B所成的角的大小为

（A） 60°　　　　　　　 （B） 90°　　　　　　　 （C） 105°　　　　　　 （D） 75°

（10） 设f （x）、g （x）都是单调函数，有如下四个命题：　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 　 ① 若f （x）单调递增，g （x）单调递增，则f （x）－g （x）单调递增；

　　　 　 ② 若f （x）单调递增，g （x）单调递减，则f （x）－g （x）单调递增；

　　　 　 ③ 若f （x）单调递减，g （x）单调递增，则f （x）－g （x）单调递减；

　　　 　 ④ 若f （x）单调递减，g （x）单调递增，则f （x）－g （x）单调递减．

其中，正确的命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（A） ①③　　　　　　　 （B） ①④　　　　　　　 （C） ②③　　　　　　　 （D） ②④

（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P₁、P₂、P₃．

　　　　

若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（A） P₃＞P₂＞P₁　　 （B） P₃＞P₂ = P₁　　 （C） P₃ = P₂＞P₁　　 （D） P₃ = P₂ = P₁

（12） 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它　们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

（A） 26　　　　　　　　　 （B） 24　　　　　　　　　 （C） 20　　　　　　　　　 （D） 19

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

注意事项：

1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．

2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．

（13） （）¹⁰的二项展开式中x ³的系数为　　　　　 ．

（14） 双曲线的两个焦点为F₁、F₂，点P在双曲线上．若PF₁⊥PF₂，则点P到x轴的距离为　　　　　 ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

（15） 设｛a_n｝是公比为q的等比数列，S_n是它的前n项和．若｛S_n｝是等差数列，则q = 　　　　　 ．

（16） 圆周上有2n个等分点（n＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 __________　．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17） （本小题满分12分）

已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为S_n，S_k = 2550．

（Ⅰ）求a及k的值；

（Ⅱ）求（…）．

（18）（本小题满分12分）

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC = 90°，SA⊥面ABCD，SA = AB = BC = 1，．

　　　 （Ⅰ）求四棱锥S—ABCD的体积；

　　　 （Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

（19）（本小题满分12分）

　　　 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB = 2，BC = 6，CD = DA = 4 求四边形ABCD的面积．

（20）（本小题满分12分）

　　设抛物线y² =2px （p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

（21）（本小题满分12分）

　　　 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm²，画面的宽与高的比为λ （λ＜1＝，画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？

（22）（本小题满分14分）

　　　 设f （x） 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x₁，x₂∈都有f （x₁＋x₂） = f （x₁） · f （x₂）．

　　　 （Ⅰ）求及；

（Ⅱ）证明f （x） 是周期函数；

普通高等学校招生全国统一考试

数学试题（文史财经类）参考解答及评分标准

说明：

一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．

（1）B　　（2）C　　（3）A　　 （4）A　　 （5）D　　 （6）A

（7）C　　（8）A　　（9）B　　 （10）C　　（11）D 　　（12）D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．

（13）15　　　　（14）　　　　　 （15）1　　　　　 （16）2n （n－1）　

三、解答题：

（17）本小题考查数列求和以及极限的基本概念和运算，考查综合分析的能力．满分12分．

　　　  解：（Ⅰ）设该等差数列为｛a_n｝，则a₁ = a，a₂ = 4，a₃ = 3a，S_k = 2550．

由已知有a＋3a = 2×4，解得首项a₁ = a = 2，公差d = a₂－a₁= 2．　　　　  ——2分

　　　  代入公式得

，

整理得 k²＋k－2550 = 0，

解得 k = 50，k = －51（舍去）．

　　　  ∴ a = 2，k = 50．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ——6分

（Ⅱ）由得S_n= n （n＋1），

∴

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 

　　　　　　　　　　　　 ，　　　　　　　　　　　　　　　　  ——9分

∴ ．　　　　　　　　　　 ——12分

（18）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．

解：（Ⅰ）直角梯形ABCD的面积是

 M_底面，　　　　　　　　　　  ——2分

∴ 四棱锥S—ABCD的体积是

　　　　　　　 M_底面

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ——4分

（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱． 　 ——6分

∵ AD∥BC，BC = 2AD，

∴ EA = AB = SA，∴ SE⊥SB，

∵ SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线，

又BC⊥EB，∴ BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，∴ CS⊥SE，

所以∠BSC是所求二面角的平面角．　　　　　　　　　　　　　　　　 ——10分

∵ ，BC =1，BC⊥SB，

∴ tg∠BSC ．

即所求二面角的正切值为．　　　　　　　　　　　　　　　　　  ——12分

（19）本小题考查三角函数的基础知识以及运用三角形面积公式及余弦定理解三角形的方法，考查运用知识分析问题、解决问题的能力．满分12分．

解：如图，连结BD，则有四边形ABCD的面积，

．

∵ A＋C = 180°，∴ sin A = sin C．

　　∴

　　　　 ．　　 　 ——6分

　　由余弦定理，在△ABD中，

BD ² = AB ²＋AD ²－2AB · ADcosA =2²+4²－2×2×4cos A= 20－16cos A，

在△CDB中

BD ² = CB ²＋CD ²－2CB · CDcosC = 6²＋4²－2×6×4cos C

　= 52－48cosC，　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 ——9分

∴ 20－16cosA= 52－48cosC

∵ cosC = －cosA，

∴ 64cos A =－32，

，

∴ A = 120°，

∴ ．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ——12分

（20）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．

　　　 证明：因为抛物线y² =2px （p＞0）的焦点为F （，0），所以经过点F的直线AB的方程可设为

；　　　　　　　　　　　　　  ——4分

代入抛物线方程得

y² －2pmy－p² = 0，

若记A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），则y₁，y₂是该方程的两个根，所以

y₁y₂ = －p²．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ——8分

因为BC∥x轴，且点c在准线x = －上，所以点C的坐标为（－，y₂），故直线CO的斜率为

，

即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．　　　　　　　　 ——12分

（21）本小题主要考查建立函数关系式，求函数最小值的方法和运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．

解：设画面高为x cm，宽为λx cm，则λ x² = 4840．

设纸张面积为S，有

S = （x＋16） （λ x＋10）

= λ x²＋（16λ＋10） x＋160，　　　　　　　　　　　　  ——3分

将代入上式，得

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ——6分

当时，即时，S取得最小值．　　　　　　　　　 ——8分

此时，高：，

宽：．

答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小．　　　　　  ——12分

（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．

（Ⅰ）解：由f （x₁＋x₂） = f （x₁） · f （x₂），x₁ x₂∈[0，]知

　　　　　f （） · f （）≥0，x∈[0，1]．　　　　　　　　　　　　　  ——2分

∵ f （） = f （） · f （） = [f （）]²，

　　　　　，

∴ f （）．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ——5分

∵ f （），

　　　　　　　　f （），

∴ f （）．　　　　　　　　　　　　　　　  　　　　　　　　　——8分

（Ⅱ）证明：依题设y = f （x）关于直线x = 1对称，

故 f （x） = f （1＋1－x），

即f （x） = f （2－x），x∈R．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ——11分

又由f （x）是偶函数知f （－x） = f （x） ，x∈R，

∴ f （－x） = f （2－x） ，x∈R，

将上式中－x以x代换，得

f （x） = f （x＋2），x∈R．

这表明f （x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．　　　　　　　　  ——14分