普通高等学校数学招生全国统一考试6
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案。不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并交回。
|
、c分别表示上、下底面周长，l表示
三角函数的积化和差公式
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
（1）满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
（2）在平面直角坐标系中，已知两点
则AB的值是
（A）
（B）
（C）
（D）1
（3）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间（
）上为减函数的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是
 |
A B C D
（5）64个直径都为
的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个直径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则
（A）V甲＞V乙且S甲＞S乙 （B）V甲＜V乙且S甲＜S乙
（C）V甲＝V乙且S甲＞S乙 （D）V甲＝V乙且S甲＝S乙
（6）若直线
与直线
的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）（1+i）8等于
（A）16i （B）－16i （C）－16 （D）16
（8）若
，则
的值为
（A）
（B）－ （C）
（D）－
（9）5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为
（A）480 （B）240 （C）120 （D）96
（10）已知椭圆
和双曲线
有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
|
的定义在（0，3）上的函数，
的图象如图所示，那么不等式
的解集是
（A）（0，1）∪（2，3） （B）
（C）
（D）
（12）如图所示，
是定义在[0，1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0，1]中任意的x1和x2，
恒成立”的只有
|
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1．第Ⅱ卷共7页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
（13）
从小到大的顺序是
.
（14）等差数列{an}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于 .
（15）关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角.其中正确判断的序号是
（注：把你认为是正确判断的序号都填上）.
（16）圆
的动点Q到直线
距离的最小值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
解不等式
.
（18）（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h..
（Ⅰ）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角正切值；
（Ⅱ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式
V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是
（S上底面+4S中截面+S下底面），
试判断V估与V的大小关系，并加以证明.
（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.）
（19）（本小题满分12分）
数列{xn}由下列条件确定：
（Ⅰ）证明：对n≥2，总有
；
（Ⅱ）证明：对n≥2，总有
；
（20）（本小题满分12分）
在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：
用计算机求n个不同的数
的和
.计算开始前，n个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数，计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.
为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这n个数的和，需要设计一种读和加的方法.比如n=2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：
| 机器号 | 初始时 | 第一单位时间 | 第二单位时间 | 第三单位时间 | |||
| 被读机号 | 结 果 | 被读机号 | 结 果 | 被读机号 | 结 果 | ||
| 1 | v1 | 2 | v1+ v2 | ||||
| 2 | v2 | 1 | v2+v1 | ||||
（Ⅰ）当n=4时，至少需要多少个单位时间可完成计算？
把你设计的方法填入下表
| 机器号 | 初始时 | 第一单位时间 | 第二单位时间 | 第三单位时间 | |||
| 被读机号 | 结 果 | 被读机号 | 结 果 | 被读机号 | 结 果 | ||
| 1 | v1 | ||||||
| 2 | v2 | ||||||
| 3 | v3 |
| |||||
| 4 | v4 |
| |||||
（Ⅱ）当n=128时，要使所有机器都得到
，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）
（21）（本小题满分13分）
已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点.
（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G，F，H三点共线；
（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹.
（22）（本小题满分13分）
已知
是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a，b∈R都满足：
.
（Ⅰ）求f（0），f（1）的值；
（Ⅱ）判断的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若
，求证
.
数学试题参考解答
说明：
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.
（1）C （2）D （3）B （4）A （5）C （6）B
（7）D （8）A （9）B （10）D （11）C （12）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.
（13）
（14）4 （15）①②③④⑤ （16）2
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）本小题主要考查不等式的解法等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力.满分12分.
解： 
.所以，原不等式组的解集为
.
（18）本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，考查空间想象能力和
|
（1）解：过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于
PQ,过B1作B1G⊥PQ,垂足为G.∵平面ABCD∥平
面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°，∴AB⊥PQ，AB⊥
B1P. ∴∠B1PG为所求二面角的平面角.过C1作
C1H⊥PQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二
面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形.
，
即所求二面角的正切值为
.
（Ⅲ）V估＜V.证明： ∵a＞c，b＞d，∴
∴V估＜V.
（19）本小题主要考查数列、数列极限、不等式等基本知识，考查逻辑思维能力. 满分12分.
（Ⅰ）证明：由
，可归纳证明
（没有证明过程不扣分）.
从而有
，所以，当n≥2时，成立.
（Ⅱ）证法一：当n≥2时，因为
，所以
，故当n≥2时，成立.
证法二：当n≥2时，因为
，所以
，故当n≥2时，成立.
（20）本小题主要考查运用数学思想方法，分析和解决科学问题的能力.满分12分.
（Ⅰ）解：当n=4时，只用2个单位时间即可完成计算.
方法之一如下：
| 机器号 | 初始时 | 第一单位时间 | 第二单位时间 | 第三单位时间 | |||
| 被读机号 | 结 果 | 被读机号 | 结 果 | 被读机号 | 结 果 | ||
| 1 | v1 | 2 | v1+ v2 | 3 | v1+ v2+ v3+ v4 | ||
| 2 | v2 | 1 | v2+v1 | 4 | v2+ v1+ v4+ v3 | ||
| 3 | v3 | 4 | v3+ v4 | 1 | v3+ v4+ v1+ v2 | ||
| 4 | v4 | 3 | v4+ v3 | 2 | v4+ v3+ v2+ v1 | ||
（Ⅱ）解：当n=128=27时，至少需要7个单位时间才能完成计算.
（21）本小题主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分.
（Ⅰ）解：由△OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c≠0），可求得
重心
，外心F
，垂心
.当
时，
G，F，H三点的横坐标均为
，故三点共线；当
时，设G,H所在直线的斜
率为
，F，G所在直线的斜率为
.因为
，
，所以
，G，F，H三点共线.
综上可得，G，F，H三点共线.
（Ⅱ）解：若FH//OB，由
，得
，
配方得
，即
.
因此，顶点C的轨迹是中心在（
，0），长半轴长为
，短半轴长为，且短
轴在x轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（
，
），（
，－）四点.
（22）本小题主要考查函数与数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力. 满分13分.
（Ⅰ）解：
. 因为
，
所以
（Ⅱ）是奇函数. 证明：因为
，
因此，为奇函数.
（Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明
（1）当n=1时，
；
（2）假设当n=k时，
那么当n=k+1时，
.
由以上两步可知，对任意
.因为
所以