普通高等学校数学招生全国统一考试

普通高等学校数学招生全国统一考试

数学（理工类）（上海卷）

考生注意：

　　　 1. 答案前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。

　　　 2. 本试卷共有22道试题，满分150分。考试时间120分钟。请考生用钢笔或圆珠笔答

　　　案直接写在试卷上。

　　　

一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

（1） 设函数则满足的x值为　　　　　 　　.

（2） 设数列｛a _n｝的通项为a_n=2n-7 (n∈N)，则a₁+a₂+……+a₁₅= 　　　　　 .

（3）设P为双曲线上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是　　　　　　　　　　　　　　　　　  .

（4）设集合，则A∩B的元素个数为　　　　　　  个.

（5）抛物线x²－4y－3=0的焦点坐标为　　　 　　　　　　 .

（6）设数列｛a _n｝是公比q>0的等比数列，S_n是它的前n项和，若，则此数列的首项a₁的取值范围是　　　　　　　  .

（7）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种。现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种　　　　　　  种。（结果用数值表示）

（8）在代表式的展开式中，常数项为　　　　　　　　　  .

（9）设x=sin α，且，则arccosx的取值范围是　　　　　  。

（10） 直线与曲线（φ为参数）的交点坐标是　　　　　  。

（11）已知两个圆：①与②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程。将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例。推广的命题为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 。

（12） 据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一，左下图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为：

　　　

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。

（13）a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的

　　　 （A）充分非必要条件　　　　　　　　　　　（B）必要非充分条件

　　　 （C）充要条件　　　　　　　　　　　　　　　　 （D）既非充分也非必要条件

（14）如图，在平行六面体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，M为AC与BD的交点。若则下列向量中与相等的向量是

（A）　　　　　　　　　　　　　　 （B）

（C）　　　　　　　　　　　　　　　　 （D）

 

（15） 已知a、b为两条不同的直线，α、β为两上不同的平面，且a⊥α、b⊥β，则下列命题中的假命题是

　 （A）若a∥b，则a∥β.　　　　　　　　　　　　　 （B）若α⊥β，则a⊥b.

　 （C）若a、b相交，则α、β相交.　　　　　 （D）若α、β相交，则a、b相交.　

（16）用计算器验算函数的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是

　 （A）在（1，＋∞）上是单调减函数

　 （B），x∈（1，＋∞）有最小值

　 （C），x∈（1，＋∞）的值域为

　 （D）

三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

（17）（本题满分12分）

已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积。若a=4，b=5，，求c的长度。

（18）（本题满分12分）

设F₁、F₂为椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，且PF₁>PF₂，求的值。

（19）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

在棱长为a的正方体OABC－O’A’B’C’中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AE=BF.

（Ⅰ）求证：A’F⊥C’E;

（Ⅱ）当三棱锥B’－BEF的体积取得最大值时，求二面角B’－EF－B的大小。（结果用反三角函数表示）

（20）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分。

对任意一人非零复数z，定义集合

（Ⅰ）设α是方程的一个根.试用列举法表示集合M_a，若在M_a中任取两个数，求其和为零的概率P;

（Ⅱ）设复数ω∈M_z，求证：

（21）（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。

用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上。设用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数f(x).

（Ⅰ）试规定f(0)的值，并解释其实际意义；

（Ⅱ）试根据假定写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质；

（Ⅲ）设。现有a(a>0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由。

（22）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分。

对任意函数f(x)，x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：

①输入数据x₀∈D，经按列发生器，其工作原理如下：

②若x₁∈D，则数列发生器结束工作；若x₁∈D，则将x₁反馈回输入端，再输出x₂= f(x₁)，并依此规律继续下去，现定义.

（Ⅰ）若输入，则由数列发生器产生数列｛x_n｝。请写出数列｛x_n｝的所有项：

（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据x₀的值；

（Ⅲ）若输入x₀时，产生的无穷数列｛x_n｝满足；对任意正整数n，均有x_n > x_n+1，求x₀的取值范围。

数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准

说明：

１．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

２．评阅试卷，就坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响决定后面的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

３．第17题至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数，给分或扣分均以1分为单位。

解答

一、（第1题至第12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。

（1）3．　　　　　　　　　　 （2）　153　　　　　 （3）x²－4y²＝1.　　　　 （4）1

（5）　（6）（０，７）　　（7）7　　　　　　　　　　　　 （8）15

（9）　　　　　　　（10）

（11）设圆方程：　①，

　　　　 　②

（a≠c或b≠d），则由①－②，得两圆的对称轴方程。

（12）

二、（第13题至第16题）每一题正确的给4分。

　　　　　　　　　　　　　　

（13）C　　　　　　　　（14）A　　　　　　　　（15）D　　　　　　　　（16）D

三、（第17题至第22题）

（17）[解]∵ 　　∴　　　　　　　　……（４分）

　　　　于是∠C＝60°，或∠C＝120°.　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　……（6分）

　　　　又

　　　　　　　当　∠C＝60°时，　　　　　　 ……（9分）

　　　　　　　当　∠C＝120°时，　　　 ……（12分）

（18）　[解法一]由已知　　　　……（4分）

根据直角的不同位置，分两种情况：

若∠PF₂F₁为直角，则

即　

得　故　　　　　……（9分）

若∠F₁PF₂为直角，则

即　

得　故　　　　 　　……（12分）

[解法二]　由椭圆的对称性不妨设P(x，y)　（x>0，y>0），

则由已知可得　　　　　　　　　　　　　　　　……（4分）

根据直角的不同位置，分两种情况：

若∠PF₂F₁为直角，则

于是故　　　　　　　　　……（9分）

若∠F₁PF₂为直角，则，

解得即

于是故　　　　　　　　  　……（12分）

（说明：两种情况，缺少一种扣3分）

（19）（１）[证明]如图，以O为原点建立空间直角坐标系。

　　　　　　　设AE＝BF＝x，则

　　　 A’(a，0，a)、F(a－x，a，0)、C’(0，a，a)、E(a，x，0)

　 　　　　　　　　　　　　　　　……（4分）

　　∵　

　　∴　A’F⊥C’E.

　　　 （２）[解]记BF=x，BE＝y，则　x+y=a，

三棱锥B’－BEF的体积

当且仅当时，等号成立。

因此，三棱锥B’－BEF的体积取得最大值时，　　……（10分）

过Ｂ作BD⊥EF交EF于D，连B’D，可知B’D⊥EF.

∴ ∠B’DB是二面角B’－EF－B的平面角。

在直角三角形BEF中，直角边是斜边上的高，

∴　

故二面角B’－EF－B的大小为　　　　　　　　　　　　　 　　　……（14分）

（20）（1）[解]　∵　α是方程的根，

　　　　∴　　　　　　　　　　　　　　 ……（2分）

　　　　当时，

　　　　∵　

　　　　∴　

　　　　　　　　　　　　　　

　　　 　当时，　　∵　

　　　　　∴　　

　　　　　　　　　　

　　　　　当时，　∵　　

　　　 　　　 ∴

　 因此，不论α取哪一个值，集合M_α是不变的，即

　　　　　　……（8分）

　　于是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……（10分）

（２）[证明]　∵　ω∈M_z ，∴　存在m∈N，使得.　　　……（12分）

于是对任意n∈N，，由于(2m－1)(2n－1)

是正奇数，，所以.　　　　　　　　　　　　　　　　　 　……（14分）

（21）[解]（１）f(0)=1表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样。　 …（2分）

（2）函数f（x）应该满足的条件和具有的性质是：

　　　　　　

　 在[0,+∞]上f(x)单调递减，且0<f(x)≤1.　　　　　　　　　　  ……（8分）

　　（3）设仅清洗一次，残留的农药量为

　 清洗两次后，残留的农药量为　　……（12分）

　　则

　　于是，当时，f₁>f₂;

　　　　  当时，f₁＝f₂;

　　　　　当时，f₁<f₂;

当时，清洗两次后残留的农药量较少；

　　　　　当时，两种清洗方法具有相同的效果；

　　　　　当时，一次清洗残留的农药量较少.　　　 ……（16分）

（22）[解]（１）∵　f(x)的定义域D＝（－∞，－１）∪（－１，＋∞），

∴　数列｛x_n｝只有三项：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……（3分）

（2）∵　，即　　

　　∴　　x＝１，或x＝２.

　　　 　即当x₀=1或2时，

　　　　故当x₀=1时，x_n=1; 当x₀=2时，x_n=2　　(n∈N).　　　　  ……（9分）

 （3）解不等式，

　　 得x<－1或1<x<2. 要使，x₁<x₂，则x₁<－1或1< x₁<2.　　　……（12分）

对于函数

若x₁<－1，则　　　　　　　  ……（15分）

当1< x₁<2时，x₂＝f(x)，且1< x₂<2，依次类推。

可得数列｛x_n｝的所有项均满足　

综上所述，x₁∈（1，2）.由x₁=f(x₀)，得x₀∈(1，2).　　　　　  ……（18分）