高三数学综合练习综合练习（二）
(考试时间120分钟, 满分150分)
| 题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 | |||||
| 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | ||||
| 分数 | |||||||||
第Ⅰ卷 (选择题共40分)
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 
.
球的表面积公式S＝4πR2 ， 球的体积公式 V = 
πR3，其中R表示球的半径.
| 得分 | 评卷人 |
一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题的
4个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1) 满足条件{1，2}∪M={1，2，3}的所有集合M的个数是 （ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
(2) 设条件p：x= x；条件q：x2+x≥0，那么p是q的 （ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充分且必要条件 （D）非充分非必要条件
(3) 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱C1C与
BC的中点，则直线EF与直线D1C所成角的大小是
（ ）
（A）45° （B）60° （C）75° （D）90°
(4) 要得到函数y=2sin(2x -
)的图像，只需将函数y=2sin2x的图像 （ ）
（A） 向左平移个单位 （B）
向右平移个单位
（C） 向左平移
个单位 （D）
向右平移个单位
(5) 将直线
绕原点按顺时针方向旋转
，所得直线与圆
的位置关系是
（ ）
（A） 直线与圆相离 （B） 直线与圆相交但不过圆心
（C） 直线与圆相切 （D） 直线过圆心
(6) 某校高一学生进行演讲比赛，原有5名同学参加比赛，后又增加两名同学参赛，如果保持原来5名同学比赛顺序不变，那么不同的比赛顺序有 （ ）
（A）12种 （B）30种 （C）36种 （D）42种
(7) 椭圆M：
=1 (a>b>0) 的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且
的最大值的取值范围是[2c2，3c2]，其中
. 则椭圆M的离心率e的取值范围是
（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
(8) 数列
中，
，
是方程
的两个根，则数列
的前
项和
（ ）
（A）
（B）
（C） 
（D）
第II卷（非选择题 共110分）
| 得分 | 评卷人 |
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.将答案填在题中
横线上.
(9) lg8+3lg5的值为 .
(10) 已知函数
的反函数
，则方程
的解是 .
(11) 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是
，那么这个球的半径是 ，三棱柱的体积是
.
(12) 定义运算
则对x∈R，函数f(x)=1*x的解析式为f(x)= .
(13) 已知
，则c =
， a= .
(14) 一个总体中的100个个体号码为0，1，2，…，99，并依次将其分为10个小组。要用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定：如果在第1组（号码为0～9）随机抽取的号码为m ，那么依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取的号码的个位数为m+k-1或m+k-11（如果m+k≥11）.若第6组中抽取的号码为52， 则m= .
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
| 得分 | 评卷人 |
(15)（本小题满分13分）
已知向量 m = (cos
，
cos)，n = (sin，cos)，函数f(x) = m·n .
（Ⅰ）求f(x)的解析式；
（Ⅱ）求f(x)的单调递增区间；
（Ⅲ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.
| 得分 | 评卷人 |
(17)（本小题满分13分）
某大学的研究生入学考试有50人参加，其中英语与政治成绩采用5分制，设政治成绩为x，英语成绩为y，结果如下表：
|
x | 英 语 | |||||
| 1分 | 2分 | 3分 | 4分 | 5分 | ||
| 政 治 | 1分 | 1 | 3 | 1 | 0 | 1 |
| 2分 | 1 | 0 | 7 | 5 | 1 | |
| 3分 | 2 | 1 | 0 | 9 | 3 | |
| 4分 | 1 | b | 6 | 0 | a | |
| 5分 | 0 | 0 | 1 | 1 | 3 | |
y 人数（Ⅰ）求a +b的值；
（Ⅱ）求政治成绩为4分且英语成绩为3分的概率；
（Ⅲ）若“考生的政治成绩为4分” 与“英语成绩为2分”是相互独立事件，求a、b的值；
（Ⅳ）若y的数学期望为
，求a、b的值.
| 得分 | 评卷人 |
(18)（本小题满分13分）
如图，已知圆C：
，设M为圆C与x轴负
半轴的交点，过M作圆C的弦MN，并使它的中点P恰好落在y轴上.
（Ⅰ）当r=2时， 求满足条件的P点的坐标；
（Ⅱ）当r∈(1，+∞)时，求点N的轨迹G的方程；
（Ⅲ）过点P（0，2）的直线l与（Ⅱ）中轨迹G相交于两个不同
的点E、F，若
，求直线
的斜率的取值范围.
| 得分 | 评卷人 |
(19)（本小题满分14分）
设对于任意实数
、
，函数
、
满足
且
，
，
．
（Ι）求数列
、
的通项公式；
（ΙΙ）设
，求数列
的前项和Sn；
（ΙΙΙ）已知
，设
，是否存在整数
和
，使得对任意正整数不等式<
<恒成立？若存在，分别求出和的集合，并求出
的最小值；若不存在，请说明理由．
| 得分 | 评卷人 |
(20)（本小题满分14分）
已知函数
，
（Ⅰ）若在区间
上的最大值为1，最小值为
，求、的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点
且与曲线相切的直线的方程；
（Ⅲ）设函数的导函数为，函数
，试判断函数
的极值点个数，并求出相应实数的范围．
2005-2006高三数学综合练习（二）参考答案及评分标准(理科)
2006.4
一.选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1） D （2） A （3） B （4） D
（5） C （6） D （7） A （8） D
二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） 3 （10） x
=1
（11） 2，48
（12）f(x)=
（13） -3，1 （14） 7
三.解答题（本大题共6小题，共80分）
15. 解：（Ⅰ）
=
=
. ………………5分
（Ⅱ）由
≤
≤
得
≤≤
.
∴的单调增区间为[，]（
）.
………9分
（Ⅲ）
=
≥
=
，
∵是△ABC的内角， ∴
.
∴
.
∴
≤1. ∴的值域是
. …………13分
16. 方法1：
（Ⅰ）证明：∵∠BAD=90°，AB=2，AE=2，∴∠AEB=60°.
∵∠ADC=60°，CD、BE共面，∴CD∥BE.
又CD
面PBE，∴CD∥面PBE.
…………4分
（Ⅱ）解：在面APD内作PO⊥AD，垂足为O，
∵侧面APD⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD.
在面PCD内作PF⊥CD，垂足为F，连结OF，
∴∠PFO是二面角P-CD-A的平面角.
依条件易求出PD=2
，
由Rt△APD∽Rt△POD，
得PO=
，OD=
，
解Rt△OFD得OF=
. ∴tan∠PFO=
=
.
∴∠PFO=arctan. 即二面角P-CD-A的大小为arctan. ……………9分
（Ⅲ）解法1： 连结AC， 设点C到平面ABP的距离为hC，
∵VC-ABP=
hC·S△ABP=VP-ABC=PO·S△ABC， ∴hC=
.
由（Ⅱ）知PO⊥底面ABCD， PD=2，PO=.
在平面ABCD内作CG⊥AD，垂足为G，易求出CG=4，并知G为AD中点.
∴点C到AB的距离等于AG=4.
∴S△ABC=
AB×AG =×4=4. S△ABP=AB×AP=6.
∴hC==.
∵G为Rt△APD斜边中点，∴PG=4.
∵CG⊥AD，垂足为G，且侧面APD⊥底面ABCD，∴CG⊥面APD.
∴CG⊥PG. ∴PC=8.
设PC与面ABP所成角为θ，则sinθ=
.
即PC与面ABP所成角的大小等于arcsin.
……………………………13分
解法2：
在面ABCD内作CG⊥AD，垂足为G， 又AB⊥AD，且AB、CG共面，∴AB∥CG.
∵面APD⊥面ABCD，∴CG⊥面APD.
在面APD内作GK⊥PD，垂足为K，连结CK， ∴CK⊥PD.
又AP⊥PD，且AP，GK共面，∴AP∥GK.
∵AB∩AP=A，CG∩GK=G，∴面ABP∥面GCK.
∴PC与面ABP所成的角等于PC与面GCK所成角.
∵GK⊥PD，CK⊥PD，且CG∩GK=G， ∴PK⊥面GCK.
∴∠PCK是PC与面CGK所成的角.
易计算出G为AD中点，∴K为PD中点.
∵PD=2，∴PK=KD=. ∴CK=
. ∴tan∠PCK=
=
=
.
即PC与面ABP所成角的大小等于arctan. （等于arcsin）……………13分
（解法3提示：延长AB、DC，设交点为M，连结PM，过C作CH∥PD，HC交PM于H，证明∠HPC是PC与面ABP所成的角，….）
方法2：
如图建立空间直角坐标系.
所以各点的坐标是A(0，-
，0)，B(2，-，0)，C(4，-，0)，
D(0，，0)，E(0，-
，0)，P(0，0，)
容易求出平面PAB的一个法向量为n1= (0，
，-)，
平面PCD的一个法向量为n2= (，3，)，
平面APD的一个法向量为n3= (1，0，0)，
平面ABCD的一个法向量为n4= (0，0，1)，
（Ⅰ）证明：容易求出
=(-4，4，0)，
平面PBE的一个法向量为n3= (-
，-
，)，
∵·n3=(-4，4，0)·(-，-，)= (-4)(-)+4(-)=0，
∴⊥n3. 又CD平面PBE， ∴CD∥平面PBE. ………………………4分
（Ⅱ）解：设所求二面角为θ，
∵n2·n4= (，3，)·(0，0， 1)= ，n2n4=
=
，
∴cosθ=
=
. ∴θ=arccos.
∴所求二面角的大小为arccos.（等于arctan） ………………………9分
（Ⅲ）设PC与平面APB所成的角为α，
则
与平面APB法向量n1所成的角为
-α，或α-.
∵= (4，-，-)，
∴·n1= (4，-，-)· (0，，-)=
， n1=8×
=
.
∴cos(-α)=×
=. 即sinα=.
∴ PC与面ABP所成角的大小等于arcsin.
…………………13分
17. 解：（Ⅰ）考生总人数是50，因此表中标出的总人数也应是50，所以a +b+47=50，
故a +b=50-47=3； ………………………………3分
（Ⅱ）从表中可以看出，“政治成绩为4分且英语成绩为3分”的考生人数为6人，所以其概率为
.
………………………………6分
（Ⅲ）因为若“考生的政治成绩为4分” 与“英语成绩为2分”是相互独立事件，
所以P(x=4，y=2)= P(x=4)·P(y=2)，即
，
解得： b=1，a=2. …………………………………10分
（Ⅳ）由已知
，解得：a=1，b=2.
………………………………13分
18. （Ⅰ）解一：
由已知得，r=2时，可求得M点的坐标为M(-1，0)
设P(0，b),则由
（或用勾股定理）得：
∴
即点P坐标为(0，
)
………………………………4分
解二：同上可得M(-1，0)
设N（x，y）， 则
解得N（1，
）
∴MN的中点P坐标为（0，） ………………………………4分
（Ⅱ）解一：设N(x,y)，
由已知得，在圆方程中令y=0，求得M点的坐标为（
,0）
设P（0，b）,则由
（或用勾股定理）得：
∵点P为线段MN的中点，∴
,
，又r>1
∴点N的轨迹方程为
………………………………8分
解二：设N(x,y)，
同上可得M（,0），则
，消去r，又r>1
∴点N的轨迹方程为
………………………………8分
（Ⅲ）依题意得直线l的斜率存在且不为0，
设直线l的方程为y=kx+2，E(x1,y1)，F(x2,y2)
由
，得k2x2+(4k-4)x+4=0.
由△=-32k+16>0，得k<.
∵
，∴(x1-1)(x2-1)+y1y2>0.
∴(k2+1)x1x2+(2k-1)(x1+x2)+5>0. 得k2+12k>0. ∴k>0或k<-12.
∴0<k<或k<-12.
………………………………13分
19. 解：（Ι）取 
，则
．
取
， 得
．
故
是首项为1，公比为
的等比数列， ∴
=
．
取，
，得
=
+2 （），
即
． ∴公差为2的等差数列．
又
因此
即
………………………………4分
（ΙΙ）
=
=
．
∴
=
，
，两式相减得，
，
∴
．
………………………………9分
（ΙΙΙ）
．
∴
∴为增函数，故
．
∵，∴
，又
， <
．
∴ 1≤<．
因此，当
1，且≥时 <<恒成立，
∴
存在整数
，
，使得对任意正整数，不等式<<恒成立．此时，的集合是
，的集合是
，
且 
．
………………………………14分
20. 解（Ⅰ）∵ 
，
∴ 由
，得
，
．
又，
， ∴ 当
时，
，递增；
当
时，
，递减．
∴ 在区间上的最大值为
，∴
．
又
，
，∴ 
．
由题意得
，即
，得
．
故，为所求． ………………………………5分
（Ⅱ）解：由（1）得
，易知点在曲线上．
又
， ∴ 当切点为时，切线的斜率
，
∴ 的方程为
，即
．
当切点
不是切点时，设切点为
，切线的斜率
，
∴ 的方程为 
．
又点在上，∴ 
，
∴ 
，
∴ 
，
∴ 
，即
，∴
． ∴ 切线的方程为．
故所求切线的方程为或． ………………………………9分
（ 或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，所以曲线的点A处的切线为，恰好经过点，符合题意．）
（Ⅲ）解：由已知得
，
∴ 
．
∴ 
．
∵
，二次函数
的判别式为
，
整理，得
．
又
∴当
时，
，此时
，函数为单调递增，极值点个数为0；
当
时，
，此时方程
有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点．
………………………………14分
注：2个空的填空题，做对第一个给2分，做对第二个给3分，如有其它解法请阅卷教师酌情给分.