广东普通高等学校招生统一考试试数试题
说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟.
参考公式：
三角函数的积化和差公式
正棱台、圆台的侧面积公式
S台侧=
(c′+c)l
其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示斜高或母线长
台体的体积公式
V台体=
其中S′、S分别表示上、下底面积，h表示高．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
（1）不等式
＞０的解集为
（A）｛ｘ｜ｘ＜１｝ （B）｛ｘ｜ｘ＞３｝
（C）｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝ （D）｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝
（2）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为
，则这个圆锥的全面积是
（A）３π
（B）３π （C）6π （D）９π
（3）极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θ＝１所表示的曲线是
（A）两条相交直线 （B）圆 （C）椭圆 （D）双曲线
（4）若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ａ（ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0，则ａ的取值范围是
（A）（０，） （B）（０，] （C）（，＋∞） （D）（０，＋∞）
（5）已知复数ｚ＝
，则ａｒｇ
是
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）的反函数是
（A）ｙ＝ｌｏｇ２
，ｘ∈（１，２）
（B）ｙ＝－ｌｏｇ２，ｘ∈（１，２）
（C）ｙ＝ｌｏｇ２，ｘ∈（１，２）
（D）ｙ＝－ｌｏｇ２，ｘ∈（１，２]
（7）若０＜α＜β＜
，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则
（A）ａ＞ｂ （B）ａ＜ｂ （C）ａｂ＜１ （D）ａｂ＞2
（8）在正三棱柱ABC—A１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝
ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为
（A）60° （B）９０° （C）4５° （D）120°
（9）设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ）都是单调函数，有如下四个命题
①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；
②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递增；
③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减；
④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）单调递减
其中，正确的命题是
（A） ①③ （B）①④ （C）②③ （D）②④
（10）对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点Q，点P(a,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a的取值范围是
（A）（－∞,０） （B）（－∞,２） （C）［０,２］ （D）（０,２）
（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则
（A）P３＞P２＞P１ （B）P３＞P２＝P１
（C）P３＝Ｐ２＞Ｐ１ （D）P３＝P２＝P１
（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为
（A）２６ （B）２４ （C）２０ （D）１９
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)
（13）已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组
成共有 种可能(用数字作答).
（14）双曲线
的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P到ｘ轴的距离为 ．
（15）设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ＝ ．
（16）圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ．
三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
（17）(本小题满分10分)
求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ的最小正周期．
（18）(本小题满分12分)
已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓｎ，Ｓk＝２５５０．
(Ⅰ)求ａ及ｋ的值；
(Ⅱ)求
（19）(本小题满分12分)
如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD中，
∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD，
SA＝AB＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝．
(Ⅰ)求四棱锥S—ABCD的体积；
(Ⅱ)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．
（20）(本小题满分12分)
设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm２，画面的宽与高的比为λ（λ＜１＝，画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈
，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?
（21）(本小题满分14分)
已知椭圆
的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相
交于A、B两点，点C在右准线l上，且ＢＣ∥x轴求证直线AC经过线段EF的中点．
（22）(本小题满分14分)
设ｆ（ｘ）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线ｘ＝１对称对任意ｘ１，ｘ２∈［０，］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f(1)=ａ＞０．
(Ⅰ)求ｆ
；
(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数；
（Ⅲ）记ａｎ＝ｆ（２ｎ＋
），求
．
参考答案
一、选择题
（1）C （2）A （3）D （4）A （5）B （6）A
（7）B （8）B （9）C （10）B （11）D （12）D
二、填空题
（13）4900 （14）
（15）1
（16）2n(n-1)
三、解答题
（17）解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ
＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ
＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２ ５分
＝
8分
所以最小正周期Ｔ＝π． 10分
（18）解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａｎ｝，
则a１＝ａ，ａ２＝４，ａ３＝３ａ，Ｓｋ＝２５５０．
由已知有a+3a=2×４，解得首项a１＝ａ＝２，
公差d=a２－ａ１＝２． 2分
代入公式Sｋ＝ｋ·ａ１＋
得
∴ｋ２＋ｋ－２５５０＝０
解得k=50,k=-51(舍去)
∴a=2,k=50. 6分
(Ⅱ)由
得Sｎ＝ｎ（ｎ＋１），
9分
12分
（19）解：(Ⅰ)直角梯形ABCD的面积是
M底面=
=
2分
∴四棱锥S—ABCD的体积是
4分
(Ⅱ)延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱 6分
∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ
∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ
∵ＳＡ⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线.
又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，
∴CS⊥ＳＥ，
所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 10分
∵ＳＢ＝
∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝
即所求二面角的正切值为
12分
（20）解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ，则λｘ２＝４８４０ 1分
设纸张面积为S，则有
Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ２＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3分
将ｘ＝
代入上式得
Ｓ＝５０００＋４４
5分
当８
时，S取得最小值，
此时，高：ｘ＝
cｍ，
宽：λｘ＝
ｃｍ 8分
如果λ∈［
］，可设
，则由S的表达式得
Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４
=
10分
由于
因此Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＜０，
所以S（λ）在区间［］内单调递增.
从而，对于λ∈［］，当λ＝
时，S（λ）取得最小值
答：画面高为88ｃｍ、宽为５５ｃｍ时，所用纸张面积最小；如果要求λ∈［］,当λ＝时，所用纸张面积最小.
12分
（21）证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F(1，0)，右准线方程为ｘ＝２，点E的坐标为(2，0)，EF的中点为N(
，0)
3分
若AB垂直于x轴，则A（１，ｙ１），Ｂ（１，－ｙ１），Ｃ（２，－ｙ１），
∴AC中点为N(，0)，即AC过EF中点N.
若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BC∥x轴知点B不在x轴上，故直线AB的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０．
记A（ｘ１，ｙ1）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），则C（２，ｙ２）且ｘ１，ｘ２满足二次方程
即（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２（ｋ２－１）＝０，
∴ｘ１＋ｘ２＝
１０分
又ｘ２１＝２－２ｙ２１＜２，得ｘ１－≠０，
故直线AN，CN的斜率分别为
ｋ１＝
∴ｋ１－ｋ２＝２ｋ·
∵（ｘ１－１）－（ｘ２－１）（２ｘ１－３）
＝３（ｘ１＋ｘ２）－２ｘ１ｘ２－４
＝
∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故A、C、N三点共线.
所以，直线AC经过线段EF的中点N. 14分
（22）(Ⅰ)解：因为对ｘ１，ｘ２∈［０，］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（x２）,
所以
ｆ（１）＝ａ＞0， 3 分
∴
6分
(Ⅱ)证明：依题设ｙ＝ｆ（ｘ）关于直线ｘ＝１对称，
故ｆ（ｘ）＝ｆ（１＋１－ｘ），
即ｆ（ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R
又由ｆ（ｘ）是偶函数知ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），ｘ∈R，
∴ｆ（－ｘ）＝ｆ（２－ｘ），ｘ∈R，
将上式中－ｘ以ｘ代换，得ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋２），ｘ∈Ｒ
这表明ｆ（ｘ）是R上的周期函数，且2是它的一个周期. 10分
（Ⅲ）解：由(Ⅰ)知ｆ（ｘ）≥０，ｘ∈［０，１］
∵
∴
12分
∵ｆ（ｘ）的一个周期是2
∴ｆ（２ｎ＋）=ｆ（）,因此an=
14分