普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编
第二章《函数》
一、选择题（共40题）
1．（安徽卷）函数
的反函数是
A．
B．
C．
D．
解：有关分段函数的反函数的求法，选C。也可用特殊点排除法，原函数上有（1，2）和（-1，-1）两点，反函数上有（2，1）和（-1，-1），检验知C。
2．（安徽卷）函数
的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由
得：
，所以为所求，故选D。
3．（北京卷）已知
是
上的减函数，那么
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
解：依题意，有0<a<1且3a－1<0，解得0<a<
，又当x<1时，（3a－1）x＋4a>7a－1，当x>1时，logax<0，所以7a－1³0解得x³
故选C
4．（北京卷）已知
是（-
，+）上的增函数，那么a的取值范围是
（A）(1，+) （B）(-,3) (C)[
，3) (D)(1,3)
解：依题意，有a>1且3－a>0，解得1<a<3，又当x<1时，（3－a）x－4a<3－5a，当x³1时，logax³0，所以3－5a£0解得a³，所以1<a<3故选D
5．（北京卷）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间
上的任意
，
恒成立”的只有
（A）
（B）
（C）
（D）
解：
>1
<1\ 
<x1－x2故选A
6．（福建卷）函数y=㏒
(x﹥1)的反函数是
A.y=
(x>0) B.y= (x<0) C.y=
(x>0) D. .y= (x<0)
解：对于x>1，函数
>0，解得
，
=
，∴ 原函数的反函数是
，选A.
7．（福建卷）函数
的反函数是
（A）
（B）
（C）
（D）
解：由函数解得
(y≠1)，∴ 原函数的反函数是.
8．（福建卷）已知
是周期为2的奇函数，当
时，
设
则
（A）
（B）
（C）
（D）
解：已知是周期为2的奇函数，当时，设
，
，
<0，∴，选D.
9．（广东卷）函数
的定义域是
A.
B. 
C.
D. 
解：由
，故选B.
10．（广东卷）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A.
B. 
C. 
D. 
解：B在其定义域内是奇函数但不是减函数;C在其定义域内既是奇函数又是增函数;D在其定义域内不是奇函数,是减函数;故选A.
11．（广东卷）函数
的反函数
的图像与
轴交于点
（如图2所示），则方程
在
上的根是
A.4 B.3 C. 2 D.1
解：
的根是
2，故选C
12．（湖北卷）设
，则
的定义域为
A．
B．
C．
D．
解：f（x）的定义域是（－2，2），故应有－2<
<2且－2<
<2解得－4<x<－1或1<x<4
故选B
13．（湖北卷）关于
的方程
，给出下列四个命题：
①存在实数
，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；
其中假命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
解：关于x的方程
可化为
…（1）
或
（－1<x<1）…………（2）
①
当k＝－2时，方程（1）的解为±
，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根
②
当k＝
时，方程（1）有两个不同的实根±
，方程（2）有两个不同的实根±
，即原方程恰有4个不同的实根
③
当k＝0时，方程（1）的解为－1，＋1，±
，方程（2）的解为x＝0，原方程恰有5个不同的实根
④
当k＝
时，方程（1）的解为±
，±
，方程（2）的解为±
，±
，即原方程恰有8个不同的实根
选A
14．（湖南卷）函数
的定义域是( )
A.(3,+∞) B.[3, +∞) C.(4, +∞) D.[4, +∞)
解：函数
的定义域是
，解得x≥4，选D.
15．（湖南卷）函数
的定义域是
A．(0,1］ B. (0,+∞) C. (1,+∞) D. ［1,+∞)
解：函数的定义域是
，解得x≥1，选D.
16．（江西卷）若不等式x2＋ax＋1³0对于一切xÎ（0，
〕成立，则a的取值范围是（ ）
A．0
B. –2
C.-
D.-3
解：设f（x）＝x2＋ax＋1，则对称轴为x＝
若³，即a£－1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）³0Þ
－£x£－1
若£0，即a³0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）＝1>0恒成立，故a³0
若0££，即－1£a£0，则应有f（）＝
恒成立，故－1£a£0
综上，有－£a故选C
17．（江西卷）某地一年的气温Q（t）（单位：ºc）与时间t（月份）之间的关系如图（1）示，已知该年的平均气温为10ºc，令G（t）表示时间段〔0,t〕的平均气温，G（t）与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是（ ）
|
解：结合平均数的定义用排除法求解A
18．（江西卷）某地一天内的气温
（单位：℃）与时刻
（单位：时）之间的关系如图（1）所示，令
表示时间段
内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差）．与之间的函数关系用下列图象表示，则正确的图象大致是（ ）
 |
解：结合图象及函数的意义可得D。
19．（辽宁卷）设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是
(A)
是奇函数 (B)
是奇函数
(C) 
是偶函数 (D) 
是偶函数
【解析】A中
则
，
即函数为偶函数，B中
，
此时
与
的关系不能确定，即函数的奇偶性不确定，
C中
，
，即函数
为奇函数，D中
，
，即函数为偶函数，故选择答案D。
【点评】本题考查了函数的定义和函数的奇偶性的判断，同时考查了函数的运算。
20．（辽宁卷）与方程
的曲线关于直线
对称的曲线的方程为
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
解：
，
，即：
，所以
，故选择答案A。
21．（全国卷I）已知函数
的图象与函数
的图象关于直线对称，则
A．
B．
C．
D．
解：函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以
是的反函数，即=
，∴ 
，选D.
22．（全国II）函数y＝lnx－1(x＞0)的反函数为
（A）y＝ex＋1(x∈R) （B）y＝ex－1(x∈R) （C）y＝ex＋1(x＞1) (D)y＝ex－1(x＞1)
解析:
所以反函数为
故选B
23．（全国II）函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为
(A)f(x)＝(x＞0) (B)f(x)＝log2(－x)(x＜0)
(C)f(x)＝－log2x(x＞0) (D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
解析：(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),所以
选D
本题主要考察对称的性质和对数的相关性质,比较简单,但是容易把
与
搞混,其实
24．（全国II）如果函数
的图像与函数
的图像关于坐标原点对称，则的表达式为
（A）
（B）
（C）
（D）
解：以－y，－x代替函数中的x，
，得 的表达式为
，选D
25．（全国II）函数f(x)＝的最小值为
（A）190 （B）171 （C）90 （D）45
解析:
表示数轴上一点到1,2,3…19的距离之和,可知x在1—19最中间时f(x)取最小值.即x=10时f(x)有最小值90,故选C
本题主要考察求和符号的意义和绝对值的几何意义,难度稍大,且求和符号不在高中要求范围内,只在线性回归中简单提到过.
26.（山东卷）函数y=1+ax(0<a<1)的反函数的图象大致是
 |
（A） （B） （C） （D）
解：函数y=1+ax(0<a<1)的反函数为
，它的图象是函数
向右移动1个单位得到，选A
27.（山东卷）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为
(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2
解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数，f（x）的周期为4，所以f（6）＝f（2）＝－f（0）＝0，选B
28.（山东卷）设
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解：f（f（2））＝f（1）＝2，选C
29.(陕西卷)设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
解析：函数f(x)=loga(x+b)(a>0，a≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，
则
，∴
，
或
(舍)，b=1，∴a+b=4，选C．
30.(陕西卷)函数f(x)= (x∈R)的值域是( )
A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]
解析：函数f(x)= (x∈R)，∴ 
1，所以原函数的值域是(0，1]
，选B.
31.(陕西卷)设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(0, 0),其反函数的图像过点(1,2),则a+b等于( )
A.6 B.5 C.4 D.3
解析：函数f(x)=loga(x+b)(a>0，a≠1)的图象过点(0，0)，其反函数的图象过点(1，2)，
则
，∴
，a=3，则a+b等于4，选C.
32.（四川卷）函数
的反函数是
（A）
（B）
（C）
（D）
解析：函数，解得
(y∈R)，所以原函数的反函数是，选A.
33.（天津卷）已知函数
的图象与函数
（
且
）的图象关于直线
对称，记
．若
在区间
上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称,则
，记
=
．当a>1时，若在区间上是增函数，为增函数，令
，t∈[
, 
]，要求对称轴
，矛盾；当0<a<1时，若在区间上是增函数，为减函数，令，t∈[,]，要求对称轴
，解得
,所以实数的取值范围是,选D.
34.（天津卷）设
，
，
，则（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
解析：
则，选A.
35.（天津卷）函数
的反函数是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
解析：由函数解得
(y>2)，所以原函数的反函数是，选D.
36.（天津卷）如果函数
在区间
上是增函数，那么实数的取值范围是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
解析：函数y
且
可以看作是关于
的二次函数，若a>1，则
是增函数，原函数在区间
上是增函数，则要求对称轴
≤0，矛盾；若0<a<1，则是减函数，原函数在区间上是增函数，则要求当
(0<t<1)时，
在t∈(0，1)上为减函数，即对称轴≥1，∴
，∴实数的取值范围是
，选B.
37.（浙江卷）)已知
，则
(A)1＜n＜m (B) 1＜m＜n (C)m＜n＜1 (D) n＜m＜1
【考点分析】本题考查对数函数的性质，基础题。
解析：由
知函数
为减函数，由
得
，故选择A。
38.（浙江卷）对a,b
R,记max{a,b}=
，函数f（x）＝max{x+1,x-2}(xR)的最小值是
(A)0
(B) (C) 
(D)3
解：当x<－1时，x＋1＝－x－1，x－2＝2－x，因为（－x－1）－（2－x）＝－3<0，所以2－x>－x－1；当－1£x<时，x＋1＝x＋1，x－2＝2－x，因为（x＋1）－（2－x）＝2x－1<0，x＋1<2－x；当£x<2时，x＋1³2－x；当x³2时，x＋1＝x＋1，x－2＝x－2，显然x＋1>x－2；
故
据此求得最小值为。选C
39.(重庆卷)如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的２倍，则函数y=f(x)的图象是
解析：如图所示，单位圆中
的长为，
与弦AB所围成的弓形面积的2倍，当的长小于半圆时，函数的值增加的越来越快，当的长大于半圆时，函数的值增加的越来越慢，所以函数的图像是D.
40.(重庆卷)设函数的反函数为
，且
的图像过点
，则的图像必过
（A） （B）
（C）
（D）
解：当x＝时，2x－1＝0，即y＝f（x）的图象过点（0，1），所以的图像必过（1，0）故选C。
二、填空题（共14题）
41.（安徽卷）函数
对于任意实数满足条件
，若
则
_______________。
解：由得
，所以
，则
。
42.（北京卷）已知函数
的反函数的图象经过点（-1，2），那么a的值等于
.
解：依题意，当x＝2时，y＝1，代入中，得a＝2
43.（江西卷）设f（x）＝log3（x＋6）的反函数为f－1（x），若〔f－1（m）＋6〕〔f－1（n）＋6〕＝27,则f（m＋n）＝___________________
解：f－1（x）＝3x－6故〔f－1（m）＋6〕·〔f－1（x）＋6〕＝3m·3n＝3m ＋n＝27
\m＋n＝3\f（m＋n）＝log3（3＋6）＝2。
44.（辽宁卷）设
则
__________
【解析】
.
【点评】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算.
45.（辽宁卷）方程
的解为 ．
解：Û
，即
解得
（负值舍去），所以
。
46.（全国卷I）已知函数
，若为奇函数，则
________。
解析：函数
若为奇函数，则
，即
，a=
.
47.(上海卷)若函数＝
（＞0，且≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则＝ ．
解：由互为反函数关系知，过点
，代入得：
；
48.(上海卷)方程
的解是_______.
解：方程的解满足
，解得x=5.
49.（浙江卷）对a,bR,记maxa,b=函数f（x）＝maxx+1,x-2(xR)的最小值是 .
【考点分析】本题考查新定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题。
解析：由
，故
，其图象如右，
则
。
【名师点拔】数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养。
50.(重庆卷)设
，函数
有最大值，则不等式
的解集为
。
解析：设，函数有最大值，∵
有最小值，∴ 0<a<1， 则不等式的解为
，解得2<x<3，所以不等式的解集为
.
51.(重庆卷)设，函数
有最小值，则不等式
的解集为
。
解：由，函数有最小值可知a>1，所以不等式可化为x－1>1，即x>2.
52.（上海春）方程
的解 .
解：由log3(2x-1)，化为同底数的对数，得log3(2x-1)=log33，2x-1=3 ，即 x=2 ．从而应填2.
53.（上海春）函数
的反函数
.
解：先求原函数的值域，再反解．由y=3x+5，x∈[0,1] ，得y∈[5,8] ．解出 
，从而 
，x∈[5,8]
. 从而应填 
.
54.（上海春）已知函数
是定义在
上的偶函数. 当
时，
，则 当
时，
.
解：当x∈(0,+∞) 时，有-x∈(-∞,0)，注意到函数f(x) 是定义在
(-∞,+∞)上的偶函数，于是，有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4
．从而应填-x-x4．
三、解答题（共6题）
55.（广东卷）
是定义在
上且满足如下条件的函数
组成的集合：①对任意的
，都有
；②存在常数
，使得对任意的
，都有
.
(I)设
，证明：
(II)设，如果存在
，使得
，那么这样的
是唯一的；
(III)
设，任取
，令
，
，证明：给定正整数
，对任意的正整数
，成立不等式
解：(I)对任意
,
,
,
,所以
，
对任意的
，
，
，所以0<
,令
=
，
，
所以
(II)反证法:设存在两个
使得
,
则
由
，得
，所以
，矛盾，故结论成立。
(III)
，所以
+…
56.（江苏卷）设a为实数，设函数
的最大值为g(a)。
（Ⅰ）设t＝
，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)
（Ⅱ）求g(a)
（Ⅲ）试求满足
的所有实数a
解析：本小题主要考查函数、方程等基本知识，考查分类讨论的数学思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。
（Ⅰ）令
要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,
∴
t≥0
①
t的取值范围是
由①得
∴m(t)=a(
)+t=
（Ⅱ）由题意知g(a)即为函数
的最大值。
注意到直线
是抛物线
的对称轴，分以下几种情况讨论。
（1）当a>0时，函数y=m(t), 
的图象是开口向上的抛物线的一段，
由<0知m(t)在上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2
(2)当a=0时，m(t)=t, ,∴g(a)=2.
(3)当a<0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，
若
，即
则
若
，即
则
若
，即
则
综上有
(III)解法一：
情形1：当
时
，此时
，
由
，与a<-2矛盾。
情形2：当
时，此时，
解得， 
与
矛盾。
情形3：当
时，此时
所以
情形4：当时，
，此时
，
矛盾。
情形5：当时，
，此时g(a)=a+2,
由
解得
矛盾。
情形6：当a>0时，
，此时g(a)=a+2,
由
，由a>0得a=1.
综上知，满足
的所有实数a为或a=1
57.（浙江卷）设f(x)=3ax
,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：
(Ⅰ)a＞0且-2＜
＜-1；
(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.
解析：本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。满分14分。
证明：（I）因为
，所以
.
由条件
，消去
，得
；
由条件，消去
，得
，
.
故
.
（II）抛物线
的顶点坐标为
，
在的两边乘以
，得
.
又因为
而
所以方程
在区间
与
内分别有一实根。
故方程在内有两个实根.
58.(重庆卷) 已知定义域为R的函数满足
（I）若
，求
;又若
，求
;
（II）设有且仅有一个实数
，使得
，求函数的解析表达式
59.(重庆卷)已知定义域为
的函数
是奇函数。
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若对任意的
，不等式
恒成立，求的取值范围；
解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以
=0，即
又由f（1）= -f（-1）知
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知
，易知在上
为减函数。又因是奇函数，从而不等式：
等价于
，因为减函数，由上式推得：
．即对一切有：
，
从而判别式
解法二：由（Ⅰ）知
．又由题设条件得： 
，
即 ：
，
整理得 
上式对一切均成立，从而判别式
60.（上海春） 设函数
.
（1）在区间
上画出函数的图像；
（2）设集合
. 试判断集合和
之间的关系，并给出证明；
（3）当
时，求证：在区间
上，
的图像位于函数图像的上方.
解：（1）
（2）方程
的解分别是
和
，由于在
和
上单调递减，在
和
上单调递增，因此
.
由于
.
（3）[解法一] 当
时，
.
，
. 又
，
①
当
，即
时，取
，
.
，
则
.
②
当
，即
时，取
， ＝
.
由 ①、②可知，当时，
，.
因此，在区间上，
的图像位于函数图像的上方.
[解法二] 当时，.
由
得
，
令 
，解得 
或
，
在区间上，当时，
的图像与函数的图像只交于一点
； 当时，
的图像与函数的图像没有交点.
如图可知，由于直线过点
，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.