高三数学普通高等学校招生全国统一考试试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。在试题卷上作答无效。
4．考试结束，监考人员将试题卷和答题卡一并收回。
参考公式：
如果时间A、B互斥，那么
如果时间A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式
，其中R表示球的半径
球的体积公式
，其中R表示球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设全集
，集合
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
，则＝，故选B
（2）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由得：
，即
，故选D。
（3）函数
的反函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：由
得：
，所以为所求，故选D。
（4）“
”是
“的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解：条件集是结论集的子集，所以选B。
（5）若抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则
，故选D。
（6）表面积为
的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
A．
B．
C．
D．
解：此正八面体是每个面的边长均为
的正三角形，所以由
知，
，则此球的直径为
，故选A。
（7）直线
与圆
没有公共点，则的取值范围是
A．
B．
C．
D．
解：由圆的圆心
到直线大于，且
，选A。
（8）对于函数
，下列结论正确的是（ ）
A．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值
C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值
解：令
，则函数的值域为函数
的值域，而是一个减函减，故选B。
（9）将函数
的图象按向量
平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：将函数的图象按向量平移，平移后的图象所对应的解析式为
，由图象知，
，所以
，因此选C。
（10）如果实数
满足条件
，那么
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：当直线
过点(0，-1)时，
最大，故选B。
（11）如果
的三个内角的余弦值分别等于
的三个内角的正弦值，则（ ）
A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
解：的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形，若是锐角三角形，由
，得
，那么，
，所以是钝角三角形。故选D。
（12）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得
个三角形，要得直角非等腰三角形，则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得
，所以选C。
2006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科数学
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。
（13）设常数，
展开式中
的系数为
，则＝_____。
解：
，由
。
（14）在
中，
，M为BC的中点，则
_______。（用
表示）
解：
，
，所以
。
（15）函数
对于任意实数
满足条件
，若
则
__________。
解：由得
，所以
，则
。
（16）平行四边形的一个顶点A在平面
内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：
①1； ②2； ③3； ④4；
以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号）
解：如图，B、D到平面的距离为1、2，则D、B的中点到平面的距离为，所以C到平面的距离为3；
B、C到平面的距离为1、2，D到平面的距离为，则
，即
，所以D到平面的距离为1；
C、D到平面的距离为1、2，同理可得B到平面的距离为1；所以选①③。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
（17）（本大题满分12分）已知
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求
的值。
解：(Ⅰ)由，得
，所以＝
。
（Ⅱ）∵
，∴
。
（18）（本大题满分12分）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。
（Ⅰ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4的概率；
（Ⅱ）求所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3的概率；
解：设“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和等于4”的事件为A，“所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和不小于3”的事件为B
（Ⅰ）芳香度之和等于4的取法有2种：
、
，故
。
（Ⅱ）芳香度之和等于1的取法有1种：
；芳香度之和等于2的取法有1种：，故
。
（19）（本大题满分12分）如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，
，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。
（Ⅰ）证明
⊥
；
（Ⅱ）求面
与面
所成二面角的大小。
解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，
为等腰三角形，
∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；∵O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。
（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ，∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴
，
，
。
过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以
为所求二面角平面角。
在
中，OH=
，
=
。
在
中，
；
而
（Ⅱ）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，
,0)，B(
，0,0)，D(0,2，0)，∴
，
，
设平面PAB的法向量为
，则
，
，得
，
；
设平面PDB的法向量为
，则
，
，得
，
；
（20）（本大题满分12分）设函数
，已知
是奇函数。
（Ⅰ）求
、
的值。
（Ⅱ）求
的单调区间与极值。
证明（Ⅰ）∵
，∴
。从而
＝
是一个奇函数，所以
得
，由奇函数定义得
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，从而
，由此可知，
和
是函数是单调递增区间；
是函数是单调递减区间；
在
时，取得极大值，极大值为
，在
时，取得极小值，极小值为
。
（21）（本大题满分12分）在等差数列
中，
，前
项和
满足条件
，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记
，求数列
的前项和
。
解：（Ⅰ）设等差数列的公差为
,由
得：
，所以
，即
，又
＝
，所以
。
（Ⅱ）由
，得
。所以
，
当
时，
；
当
时，
，
即
。
（22）（本大题满分14分）如图，F为双曲线C：
的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，
为坐标原点。已知四边形
为平行四边形，
。
（Ⅰ）写出双曲线C的离心率
与
的关系式；
（Ⅱ）当
时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若
，求此时的双曲线方程。
解：∵四边形是
，∴
，作双曲线的右准线交PM于H，则
，又
，
。
（Ⅱ）当时，
，
，
，双曲线为
，设P
，则
，
，所以直线OP的斜率为
，则直线AB的方程为
，代入到双曲线方程得：
，
又，由
得：
，解得，则
，所以
为所求。