高考数学学校招生全国统一考试23

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至1页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔在答题卡上对应题目的答案涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：

正棱台、圆台的侧面积公式 其中c′、c分别表示上、下底面周长，l表示 斜高或母线长 台体的体积公式 其中R表示球的半径

三角函数的和差化积公式　　　　　 　　　

　　

　

　

　　

一、选择题

（1）设集合，，则集合中元素的个数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　（A）1　　　　　　　　（B）2　　　　　　 （C）3　　　　 　　　（D）4

（2）函数的最小正周期是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（A） 　　　　 （B） 　　　 （C）　　　　　　　　　（D）

（3）设数列是等差数列，且，是数列的前项和，则　　　　　　　（A）　 （B）　 　　　　　　　　　　 （C）　 　 （D）

（4）圆在点处的切线方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （A）　 （B）　

　　　（C）　　　　　　　　　　　　　（D）

（5）函数的定义域为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （A）　　　　（B）　

　　　（C）　　　　　　　　　　　　　　（D）

（6）设复数的辐角的主值为，虚部为，则=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（A）　　 　　　（B）　　　　　　　　　

（C）　 　　　　　　　　　　　　　　　　　（D）

（7）设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率　　（A）　　　 　　（B） 　　　　　　　

（C）　　  　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （D）

（8）不等式的解集为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （A）　 　　 （B）　（C）　　　　　　　　　 （D）

（9）正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为　　　　　　　　 （A）　　　 （B）　　　　（C）　　 　　　　　　　（D）

（10）在△ABC中，AB=3，BC=，AC=4，则边AC上的高为　　　　　　　　　　　　　　　　　（A）　 　　 （B）　　 （C）　 　　　　　　　　　　 （D）

（11）设函数　，则使得的自变量的取值范围为 （A）　　（B）　

　　　（C）　　　　　　　　　　　　　（D）

（12）将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，则不同的分配方案共有　　（A）12种　　 　（B）24种　　 （C）36种　　　　　　　　　（D）48种

第Ⅱ卷

二、填空题（每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

（13）用平面截半径为的球，如果球心到平面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为　　　　　  .

（14）函数在区间上的最小值为　　　　　　  .

（15）已知函数是奇函数，当时，，设的反函数是，则　　　　　 .

（16）设是曲线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为　　　　　　 .

三、解答题（6道题，共76分）

（17）（本小题满分12分）已知为锐角，且，求的值.

（18）（本小题满分12分）解方程　 .

（19）（本小题满分12分）某村计划建造一个室内面积为800的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与后侧内墙各保留1宽的通道，沿前侧内墙保留3宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？

（20）（本小题满分12分）三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3，

（Ⅰ）求证：AB ⊥ BC；

P

（Ⅱ）设AB=BC=，求AC与平面PBC所成角的大小.

（21）（本小题满分12分）设椭圆的两个焦点是与，且椭圆上存在一点，使得直线与垂直.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）设是相应于焦点的准线，直线与相交于点，若，求直线的方程.

（22）（本小题满分14分）已知数列的前项和满足.

（Ⅰ）写出数列的前三项；

（Ⅱ）求数列的通项公式；

（Ⅲ）证明：对任意的整数，有 .

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一．选择题

（1）B 　　　　（2）C 　　 （3）B 　　（4）D 　　 （5）A 　　（6）A　

（7）C 　　　　（8）D　　　（9）C 　　（10）B　　 （11）A 　 （12）C　

二．填空题

（13）　　（14）1　 （15）－2　 （16）

三．解答题

（17）本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形的能力.满分12分.

　　解：原式　因为

所以　.　 因为为锐角，由

所以　原式

（18）本小题主要考查解带绝对值的方程以及指数和对数的概念与运算.满分12分.

解：当时，原方程化为 

　 解得　　 无解.

由舍去.

当 时，原方程化为  　

解得 　无解.　

（19）本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题，应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力.满分12分.

　　解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则 ab=800.

　　蔬菜的种植面积　

　　所以 　

当

答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m².

（20）本小题主要考查两个平面垂直的性质、直线与平面所成角等有关知识，以及逻辑思维能力和空间想象能力.满分12分.

　　（Ⅰ）证明：如图1，取AC中点D，连结PD、BD.

　　因为PA=PC，所以PD⊥AC，又已知面PAC⊥面ABC，

所以PD⊥面ABC，D为垂足.

因为PA=PB=PC，所以DA=DB=DC，

可知AC为△ABC的外接圆直径，因此AB⊥BC.

（Ⅱ）解：如图2，作CF⊥PB于F，连结AF、DF.

因为△PBC≌△PBA，所以AF⊥PB，AF=CF.

因此，PB⊥平面AFC，

所以面AFC⊥面PBC，交线是CF，

因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF，

∠ACF为AC与平面PBC所成的角.

在Rt△ABC中，AB=BC=2，所以BD=

在Rt△PDC中，DC=

在Rt△PDB中，

在Rt△FDC中，　所以∠ACF=30°.

即AC与平面PBC所成角为30°.

（21）本小题主要考查直线和椭圆的基本知识，以及综合分析和解题能力.满分12分.

解：（Ⅰ）由题设有　设点P的坐标为由PF₁⊥PF₂，得

　 化简得　 　 ①

将①与联立，解得　

由　 所以m的取值范围是.

（Ⅱ）准线L的方程为设点Q的坐标为，则

　 　②

将 代入②，化简得 

由题设　，得 ，　　无解.

将 代入②，化简得

由题设 ，得  .

解得m=2.　 从而，

得到PF₂的方程　

（22）本小题主要考查数列的通项公式，等比数列的前n项和以及不等式的证明.考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.

　　（Ⅰ）解：由

由

由

（Ⅱ）解：当时，有

　

　……　

所以　

　　　　

经验证a₁也满足上式，所以　

（Ⅲ）证明：由通项公式得

当且n为奇数时，　

　　　　　　　　　　　　　　　　 

当为偶数时，

当为奇数时，

所以对任意整数m>4，有