高三摸底考试理科数学
（必修+选修Ⅱ）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试用时120分.
第Ⅰ卷（共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮
擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A)·P(B)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。
1．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合
，若P={－1，0，1}，Q={－2，2}，则集合
中元素的个数是
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知
，其中m，n是实数，是m+ni等于
A．1+2i B．1－2i C．2+i D．2－i
3．若
则下列不等式：①
②
③
④
中，正确的不等式有
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
4．若
，则
的值是
A．
B．
C．－ D．－
5．若数列{an}满足
，则a2007的值
A．1 B．－1 C．
D．2
6．已知
，点C在∠AOB内，且∠AOC=45°，设
，则
等于
A． B．
C．
D．2
7．把函数
的图象按向量
平移，所得曲线的一部分如图所示，则ω，
的值分别是
A．1，
B．1，－
C．2， D．2，－
8．已知向量
、
满足
等于
A．2 B．
C． D．
9．已知实数a，b满足等式
，下列五个关系式：①1<a<b；②1<b< a；③b<
a<1；④a<b<1；⑤a=b，其中不可能成立的关系有
A．4 B．3 C．2 D．1
10．下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是
A．
B．
C．
D．
11．在△OAB中，O为坐标原点，
，其中
，则当△OAB的面积达到最小值时，θ的值
A．
B．
C． D．
12．同时满足条件：①函数图象成中心对称图形；②对任意a、b
[0，1]，若
，有
的函数是
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷（共90分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.
13．已知
的夹角45°，要使
垂直，则λ= .
14．各项都是正数的等比数列{an}的公比
，且
成等差数列，则
的值是
.
15．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元.那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 千米处.
16．数列
是正项等差数列，若
，则数列
也为等差数列. 类比上述结论，写出正项等比数列
，若
=
， 则数列{}也为等比数列.
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A、B、C的所对边分别为a、b、c，已知
，且最长边边长为1. 求：
（1）角C的大小；
（2）△ABC最短边的长.
18．（本小题满分12分）
已知向量
，定义函数
.
（1）求函数
的最小正周期；
（2）求函数的最大值或最小值及此时对应的x的值；
（3）确定函数的单调递增区间.
19．（本小题满分12分）
设数列{an}、{bn}满足：
，且数列
是等差数列，{bn－2}是等比数列。
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）是否存在
，使
，若存在，求出k；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分12分）
某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额（最大供应量）如下表所示：
|
资源 | 甲产品 （每吨） | 乙产品 （每吨） | 资源限额 （每天） |
| 煤（t） | 9 | 4 | 360 |
| 电力（kw·h） | 4 | 5 | 200 |
| 劳力（个） | 3 | 10 | 300 |
| 利润（万元） | 7 | 12 |
产品问：每天生产甲、乙两种产品各多少吨，获得利润总额最大？
21．（本小题满分12分）
已知
，设P：
和
是方程
的两个根，不等式
对任意实数
恒成立：Q：函数
－∞，∞）上有极值.求使“P且Q”为真命题的m的取值范围.
22．（本小题满分14分）
已知函数
（1）证明：存在
，使
；
（2）设
其中n=1，2，…，证明：
；
（3）证明：
参考答案
一、选择题：
1—5：ACCCB 6—10：CDACD 11—12：BC
二、填空题：
13．2 14．
15．5
16． 
三、解答题：
17．（1）
……………………（2分）
……………………（4分）
……………………………………………………………………（5分）
（2）
、B均为锐角且B<A
又C为钝角
∴最短边为b……………………………………………………（7分）
由
，解得
………………………………（9分）
又
……………（12分）
18．（1）
………………………………（3分）
故
…………………………………………………（4分）
（2）令
.
若
时，当
时，函数
…………………………………………………………（6分）
若
时，当
时，函数
…………………………………………………………（8分）
（3）由
确定
单调递增的正值区间是
；
由
确定单调递减的正值区间是
；………（10分）
综上，当时，函数的单调递增区间为
.
当时，函数的单调递增区间为
.……（12分）
注：①
的这些等价形式中，以
最好用. 因为复合函数的中间变量
是增函数，对求的单调区间来说，只看外层函数
的单调性即可.否则，利用的其它形式，例如
求单调区间是非常容易出错的. 同学们可以尝试做一下的其它形式，认真体会，比较优劣！
②今后遇到求类似的单调区间问题，应首先通过诱导公式将转化为标准形式：
（其中A>0，ω>0），然后再行求解，保险系数就大了.
19．（1）由已知
……………………（1分）
…………（3分）
由已知
∴公差d=1…………………………………………………………（4分）
……………………………………………………（6分）
（2）设
…………………………（7分）
当
时，
是k的增函数，－
也是k的增函数.
………………………………（10分）
又
不存在
，使
…………………………………（12分）
20．设此工厂应分别生产甲、乙两种产品x吨、y吨，获得利润z万元…………（1分）
依题意可得约束条件：
|
……（4分）
……（2分）
利润目标函数
…………（7分）
如图，作出可行域，作直线
，把直线l向右上方平移至l1位置，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时取最大值.…………（10分）
解方程组
，得M（20，24）
故，生产甲种产品20t，乙种产品24 t，才能使此工厂获得最大利润.…………（12分）
21．由题设
当时，
的最小值为3.
要使
恒成立
只须
≤3
即2≤m≤8……………………………………………………（3分）
由已知，得
此一元二次方程的判断式
………（5分）
若
，则
有两个相等的实根
，且
的符号如下：
| x |
|
| ( |
|
| + | 0 | + |
因此，
不是函数的极值……………………………………（7分）
若
，则=0有两个不等的实根和
，且的符号如下：
| x |
|
| （ |
| ( |
|
| + | 0 | － | 0 | + |
）因此，函数在
处取得极大值，在
处取得极小值。……9分
综上所述，当且仅当△>0时，函数在（－∞，+∞）上有极值。
由△=4m2－12m－16>0，得m<－1或m>4
即当m<－1或m>4时，Q正确 ……………………11分
综上，当
时，命题“P且Q”为真命题。 ………………12分
22．（1）令
又
上连续，所以存在
……（4分）
（2）∵
∴是R上的单调增函数
……………………5分
∴
又是增函数，∴
…………6分
又
…………7分
综上，
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，上面已证明成立；
②假设当n=k（k≥1）时，有
当n=k+1时，由
是单调递增函数，有
即
由①和②，对一切n=1，2，…，都有 ……10分
（3）方法一：
∵
， ∴
……11分
∴
，
即 
………………14分
方法二：∵， ∴
………………11分
∴
即 ……………………14分