高考数学普通高等学校招生全国统一考试123

高考数学普通高等学校招生全国统一考试123

第I卷（本卷共10小题，每小题5分，共50分）

一. 选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 是虚数单位，（　　）

A. 　　B. 　　C. 　　D.

2. 如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（　　）

A. 　　B. 4　　C. 2　　D. 1

3. 设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为（　　）

A. 2　　B. 3　　C. 4　　D. 9

4. 设集合，那么“”是“”的（　　）

A. 充分而不必要条件　B. 必要而不充分条件　 C. 充分必要条件　 D. 既不充分也不必要条件

5. 将4个颜色互不相同的球全部放入编与为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（　　）

A. 10种　　B. 20种　　C. 36种　　D. 52种

6. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，考查下列命题，其中正确的命题是（　　）

A. 　　　　　　 B.

C. 　　　　　　　D.

7. 已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，，设（），则数列的前10项和等于（　　）

A. 55　　B. 70　　C. 85　　D. 100

8. 已知函数（为常数，）在处取得最小值，则函数是（　　）

A. 偶函数且它的图象关于点（）对称　　　　B. 偶函数且它的图象关于点（）对称

C. 奇函数且它的图象关于点（）对称　　  D. 奇函数且它的图象关于点（）对称

9. 函数的定义域为开区间（），导函数在（）

内的图像如图所示，则函数在开区间（）内有极小值点（　　）

A. 1个　　B. 2个　　C. 3个　　D. 4个

10. 已知函数的图像与函数（且）的图像关于直线对称，记。若在区间上是增函数，则实数的取值范围是（　　）

A. 　　B. 　　C. 　　D.

第II卷（本卷共12小题，共100分）

二. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上。

11. 的二项展开式中的系数是　　　　（用数字作答）。

12. 设向量与的夹角为，且=（3，3），，则　　 。

13. 如图，在正三棱柱中，AB=1。若二面角的大小为，则点C到平面ABC₁的距离为　　　　 。

14. 设直线与圆相交于A、B两点，且弦AB的长为，则　　　　。

15. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则=　　　　 吨。

16. 设函数，点表示坐标原点，点。若向量，是与的夹角（其中），设，则　　　　 。

三. 解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）

如图，在中，AC=2，BC=1，。

（1）求AB的值；

（2）求的值。

18.（本小题满分12分）

某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响。

（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；

（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；

（3）设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列。

19.（本小题满分12分）

如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱。

（1）证明FO//平面CDE；

（2）设，证明EO⊥平面CDF。

20.（本小题满分12分）

已知函数，其中，为参数，且。

（1）当时，判断函数是否有极值；

（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；

（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间（）内都是增函数，求实数的取值范围。

　

21.（本小题满分14分）

已知数列满足，，并且

，（为非零参数，2，3，4，…）

（1）若成等比数列，求参数的值；

（2）当时，证明（）

（3）当时，证明（）。

22.（本小题满分14分）

如图，以椭圆（）的中心O为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点F（）（）作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点A。连结OA交小圆于点B。设直线BF是小圆的切线。

（1）证明，并求直线与轴的交点M的坐标；

（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明。

普通高等学校招生全国统一考试

数学（理工类）

参考答案

一. 选择题：1. A　　2. C 　 3. B　　4. B　　5. A　　6. B　 7. C　 8. D　 9. A　 10. D

二. 填空题： 11. 280　　12. 　　13. 　　14. 0　　15. 20　　16. 1

三. 解答题：

17. （1）解：由余弦定理，

那么，

（2）解：由且，得，由正弦定理，

，解得。所以。

由倍角公式，

且，

故

18. （1）解：记“射手射击1次，击中目标”为事件A，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率。

（2）解：射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率

（3）解：由题设，“”的概率为

（且）

	3	4	……		……
P			……		……

所以，的分布列为：

19.（1）证明：取CD中点M，连结OM，在矩形ABCD中

，又，则。连结EM，

于是四边形EFOM为平行四边形

∴ FO//EM

又 ∵ FO平面CDE，且EM平面CDE，

∴ FO//平面CDE

（2）证明：连结FM，由（1）和已知条件，在等边中，CM=DM，EM⊥CD且。因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM

∵ CD⊥OM，CD⊥EM　　∴ CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO

而FMCD=M，所以平面CDF

20. （1）解：当时，，则在（）内是增函数，故无极值。

（2）解：，令，得

由（1），只需分下面两种情况讨论

① 当时，随的变化，的符号及的变化情况如下表：

		0
	+	0	－	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

因此，函数在处取得极小值且

要使，必有，可得

由于，故或

② 当时，随的变化，的符号及的变化情况如下表：

				0
	+	0	－	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

因此，函数在处取得极小值，且

若，则，矛盾，所以当时，的极小值不会大于零

综上，要使函数在内的极小值大于零，参数的取值范围为

（3）解：由（2）知，函数在区间与内都是增函数

由题设，函数在内是增函数，则须满足不等式组

或

由（2），参数时，，要使不等式

关于参数恒成立，必有，即

综上，解得或，所以的取值范围是

21.

（1）解：由已知，且，，

若、、成等比数列，则，即，而，解得

（2）证明：由已知，，及，可得，。由不等式的性质，有

另一方面，

因此，，故

（3）证明：当时，由（2）可知

又由（2），则从而

因此，

22. （1）证明：由题设条件知，～，故，即因此 ①

解：在中，

于是，直线OA的斜率，设直线BF的斜率为，

则

这时，直线BF的方程为，令，

则

所以直线BF与轴的交点为

（2）证明：由（1），得直线BF的方程为，且 ②

由已知，设、，则它们的坐标满足方程组 ③

由方程组③消去，并整理得 ④

由式①、②和④，

由方程组③消去，并整理得 ⑤

由式②和⑤，

综上，得到

注意到，得