高考数学普通高等学校招生全国统一考试124
第I卷（本卷共10小题，每小题5分，共50分）
一. 选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合
，
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D.
2. 设
是等差数列，
，
，则这个数列的前6项和等于（ ）
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
3. 设变量
、
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 9
4. 设
，
，
，则（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
5. 设
，那么“
”是“
”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 函数
（
）的反函数是（ ）
A. 
（） B.
（）
C. （
） D.
（）
7. 若
为一条直线，
为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①
② 
；③ 
，其中正确的命题有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
8. 椭圆的中心为点E（
），它的一个焦点为F（
），相应于焦点F的准线方程为
，则这个椭圆的方程是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
9. 已知函数
（
为常数，
）的图象关于直线
对称，则函数
是（ ）
A. 偶函数且它的图象关于点（
）对称
B. 偶函数且它的图象关于点（
）对称
C. 奇函数且它的图象关于点（）对称
D. 奇函数且它的图象关于点（）对称
10. 如果函数
（
且
）在区间
上是增函数，那么实数
的取值范围是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
第II卷（本卷共12小题，共100分）
二. 填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填在题中横线上。
11. 
的二项展开式中的系数是 （用数字作答）
12. 设向量
与
的夹角为
，且=（3，3），
，则
。
13. 如图，在正三棱柱
中，AB=1。若二面角
的
大小为
，则点
到直线AB的距离为
。
14. 若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线
相切，
则这个圆的方程为 。
15. 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的
总存储费用为
万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则= 吨。
16. 用数字0、1、2、3、4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1、2相邻的偶数有 个（用数字作答）。
三. 解答题：本大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）
已知
，
，求
和
的值。
18.（本小题满分12分）
甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品，甲机床产品的正品率是0.9，乙机床产品的正品率是0.95。
（1）从甲机床生产的产品中任取3件，求其中恰有2件正品的概率（用数字作答）；
（2）从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件，求其中至少有1件正品的概率（用数字作答）
19.（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱
。
（1）证明FO//平面CDE；
（2）设
，证明EO⊥平面CDF。
20.（本小题满分12分）
已知函数
，其中
，为参数，且
。
（1）当
时，判断函数
是否有极值；
（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；
（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间（
）内都是增函数，求实数的取值范围。
21.（本小题满分14分）
已知数列
满足
，并且
（
为非零参数，
2，3，4，……）
（1）若
成等比数列，求参数的值；
（2）设
，常数
且
，证明
（
）
22.（本小题满分14分）
如图，双曲线
（
）的离心率为
，
分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且
。
（1）求双曲线的方程；
（2）设A（
）和B（
）（
）是轴上的两点，
过点A作斜率不为0的直线，使得交双曲线于C、D两点，
作直线BC交双曲线于另一点E，证明直线DE垂直于轴。
普通高等学校招生全国统一考试
参考答案
一. 选择题：1. A 2. B 3. B 4. A 5. C 6. D 7. C 8. D 9. D 10. B
二. 填空题：11. 35 12. 
13. 
14. 
15. 20 16. 24
三. 解答题
17.解法一：由，得
，则
，
因为
，所以
，
解法二：由，得
解得
或
。由已知，故舍去，得
因此，
，
，那么
且
，故
18.（1）解：任取甲机床的3件产品中恰有2件正品的概率为
（2）解法一：记“任取甲机床的1件产品是正品”为事件A，“任取乙机床的1件产品是正品”为事件B。则任取甲、乙两台机床的产品各1件，其中至少有1件正品的概率为
解法二：
运用对立事件的概率公式，所求的概率为
19. （1）证明：取CD中点M，连结OM，在矩形ABCD中
，又，则
。连结EM，
于是四边形EFOM为平行四边形
∴ FO//EM
又
∵ FO
平面CDE，且EM
平面CDE，∴ FO//平面CDE
（2）证明：连结FM，由（1）和已知条件，在等边
中，CM=DM，EM⊥CD且
。因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM
∵ CD⊥OM，CD⊥EM ∴ CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO
而FM
CD=M，所以
平面CDF
20. （1）解：当
时，
，则函数在（
）上是增函数，故无极值。
（2）解：
，令
，得
由及（1），只考虑
的情况
当变化时，
的符号及的变化情况如下表：
|
|
| 0 |
|
|
|
|
| + | 0 | － | 0 | + |
|
| ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
因此，函数在
处取得极小值
，且
要使
，必有
，可得
，所以
（3）解：由（2）知，函数在区间
与
内都是增函数
由题设，函数在
内是增函数，则须满足不等式组
或
由（2），参数
时，，要使不等式
关于参数恒成立，必有
综上，解得
或
，所以的取值范围是
21.（1）解：由已知，且
，
若成等比数列，则
，即
，而
，解得
（2）证明：设
，由已知，数列是以
为首项、为公比的等比数列，故
，则
因此，对任意， 
当且时，
，
，所以
（）
22. （1）解：根据题设条件，
，
，
设点M（
），则
满足
因
，解得
，
故
利用
，得
，于是
，
，因此，所求双曲线方程为
（2）解：设C（
），D（
），E（
），则直线的方程为
于是C
、D
两点坐标满足
将（1）代入（2）得
由
由已知，显然
。于是
。因为
，得
同理，C（）、E（）两点坐标满足
可解得
所以
，故直线DE垂直于轴