高考数学普通高等学校招生全国统一考试126
数学试题（文科）
第Ⅰ卷（共 50分）
一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合 A=x｜－1≤x≤2，B=x0≤x≤4，则 A∩B=
（A）．[0，2] （B）．[1，2] （C）．[0，4] （D）．[1，4]
（2）在二项式
的展开式中，含
的项的系数是
（A）．15 （B）．20 （C）．30 （D）．40
（3）抛物线
的准线方程是
（A）x=－2 （B）x=－4 （C）y=－2 （D）y=－4
（4）已知
则
（A）n＜m＜1 （B）m＜n＜1
（C）1＜m＜n （D）1＜n＜m
（5）设向量 a，b，c满足 a+b+c=0，且 a⊥b，a=1，b=2，则c 2 =
（A）1 （B）2 （C）4 （D）5
（6）函数 f（x）=
在区间[－1，1]上的最大值是
（A）－2 （B）0 （C）2 （D）4
（7）“a＞0，b＞0”是“ab＞0”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）如图，正三棱柱 
的各棱长都为 2，
分别为
（A）2 （B）
（C）
（D）
（9）在平面直角坐标系中，不等式组
表示的平面区域的面积是
（A）
（B）4 （C）
（D）2
（10）对
，记
函数
的最小值是
（A）0 （B）
（C）
（D）3
第Ⅱ卷（共 100分）
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分。
（11）不等式
的解集是
.
（12）函数
的值域是
（13）双曲线
上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，则m 等于
。
（14）如图，正四面体 ABCD的棱长为 1，平面α过棱 AB， 且 CD∥α，则正四面体上的所有点在平面α内的射
影构成的图形面积是。
三、解答题：本大题共 6小题，每小题 14分，共 84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）若
是公差不为 0的等差数列
的前
项和，且
成等比数列
（Ⅰ）求数列的公比；
（Ⅱ）
=4，求的通项公式。
（16）如图，函数
其中(
)的图象与
轴交于点（0，1）
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）设
是图象上的最高点，M，N是图象与
轴的交点，求
与
的夹角。
（17）如图，在四棱锥 P—ABCD中，底面为直角梯形， AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面 ABCD，
且 PA=AD=AB=2BC，M、N分别为 PC、PB的中点。
（Ⅰ）求证：PB⊥DM；
（Ⅱ）求 BD与平面 ADMN所成的角。
（18）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有 2个红球，n个白球，现从甲、乙两袋中任取 2个球。
（Ⅰ）若
，求取到的4个球全是红球的概率；
（Ⅱ）若取到的4个球中至少有 2个红球的概率为 
，求 n。
（19）如图，椭圆
与过
,
的直线有且只有一个公共点
，且椭圆的离心率
,
（Ⅰ）求椭圆的方程
（Ⅱ）设
分别为椭圆的左、右焦点，求证
（20）设
，若 a+b+c=0，
，求证
（Ⅰ）方程
有实根；
（Ⅱ）
（Ⅲ）设
是方程的两个实根，则
数学试题（文科）参考答案
一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题 5分，共 50分。
（1）A（2）B （3）A （4）D （5）D （6）C （7）A （8）C （9）B （10）C
二、填空题：本题考察基本知识和基本运算。每小题 4分，满分 16分。
（11）
（12）
（13）
（14）
三、解答题
（15）本题主要考察等差、等比数列的基本知识、考查运算及推理
能力。满分 14分。
解：（Ⅰ）设数列的公差为
,由题意，得 
所以
因为
所以 
故公比
（Ⅱ）因为
所以
因此
（16）本题主要考查三角函数的图象，已知三角函数值求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。满分14分。
解：（Ⅰ）因为函数图象过点（0，1）
所以 
,即 
因为
所以
.
（Ⅱ）由函数
及其图象，得
所以 
从而
故
.
17．本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。满分14分。
解：方法一：
（Ⅰ）因为N是PB的中点，PA=AB,
所以AN⊥PB.
因为AD⊥面PAB, 所以AD⊥PB.
从而PB⊥平面ADMN.
所以PB⊥DM.
（Ⅱ）连结DN，
因为PB⊥平面ADMN，
所以∠BDN是BD与平面ADMN所成的角.
在
中, 
故BD与平面ADMN所成的角是
.
方法二：
如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系
,设BC=1，则
（Ⅰ）因为
,
所以PB⊥DM .
（Ⅱ）因为 
,
所以PB⊥AD. 又PB⊥DM.
因此
的余角即是BD与平面ADMN所成的角.
因为 
,所以=
因此BD与平面ADMN所成的角为.
（18）本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力。满分14分。
解：（Ⅰ）记“取到的4个球全是红球”为事件A.
（Ⅱ）记“取到的4个球至多有一个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件
，“取到的4个球全是白球”为事件
.
由题意，得
所以 
.
化简，得 
解得
，或
（舍去），
故 .
（19）本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，考查解析几何的基本思想方法和综
合解题能力。满分 14分。
解：（Ⅰ）过 A、B的直线方程为
因为由题意得
有惟一解。
即
有惟一解,
所以
，
故
又因为 
,即
，
所以
从而得
故所求的椭圆方程为
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
,所以 
由 解得 
因此
.
从而 
,
因为
,
所以
(20）本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。满分 14分。
证明：（Ⅰ）若 a = 0, 则 b = －c ,
f (0) f (1) = c (3a + 2b + c )
，
与已知矛盾，
所以 a ≠ 0.
方程
= 0 的判别式
由条件 a + b + c
= 0，消去 b，得
故方程 f (x) = 0 有实根.
（Ⅱ）由条件，知
, 
,
所以
因为 
所以 
故