高考数学试卷（理工农医类）详细解答
考生注意：
1． 答卷前，考生务必讲姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．
2． 本试卷共22道试题，满分150分．考试时间120分钟，请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．
一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。
1、 函数
的反函数
=__________。
解答：
反函数= 
2、 方程
的解是__________
解答：
3、 直角坐标平面
中，若定点
与动点
满足
，则点P的轨迹方程是__________。
解答：设点P的坐标是(x,y)，则由知
4、 在
的展开式中，
的系数是15，则实数
=__________。
解答：的系数
5、 若双曲线的渐近线方程为
，它的一个焦点是
，则双曲线的方程是__________。
解答：由双曲线的渐近线方程为，知
，
它的一个焦点是，知
，因此
双曲线的方程是
6、 将参数方程
（
为参数）化为普通方程，所得方程是__________。
解答：
7、 计算：
=__________。
解答：
=3
8、 某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外35人选修B课程。从班级中任选两名学生，他们是选修不同课程的学生的概率是__________。（结果用分数表示）
解答：
9、 在
中，若
，AB=5，BC=7，则的面积S=__________。
解答：由余弦定理
解的AC=3，因此的面积
10、
函数
的图象与直线
有且仅有两个不同的交点，则
的取值范围是__________
解答：
从图象可以看出直线有且仅有两个不同的交点时, 
11、
有两个相同的直三棱柱，高为
，底面三角形的三边长分别为
。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是__________。
解答：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况
四棱柱有一种，就是边长为
的边重合在一起，表面积为24
+28
三棱柱有两种，边长为
的边重合在一起，表面积为24+32
边长为
的边重合在一起，表面积为24+36
两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况
表面积为12
+48
最小的是一个四棱柱，这说明
12、用
个不同的实数
可得到
个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。对第
行
，记
，
。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，
，那么，
在用1，2，3，4，5形成的数阵中，
=________。
解答：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。
13、若函数
，则该函数在
上是（ ）
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
解答：
，所以
单调递减，是开区间，所以最小值无法取到，选A
14、已知集合
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
解答：
=，选B
15、过抛物线
的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在
解答：的焦点是(1，0)，设直线方程为
(1)
将(1)代入抛物线方程可得
，x显然有两个实根，且都大于0，它们的横坐标之和是
，选B
16、设定义域为R的函数
，则关于
的方程
有7个不同实数解的充要条件是（ ）
A．
且
B．
且
C．且
D．
且
解答：
有7个不同实数解的充要条件是方程
有两个根，一个等于0，一个大于0。此时应且。选C
一、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．（本题满分12分）
已知直四棱柱
中，
，底面
是直角梯形，
为直角，
，
，
，
，求异面直线
与
所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
[解]
17．[解法一]由题意AB//CD，
是异面直线BC1与DC所成的角.
|
，
又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.
在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，
得
又在
中，可得
，
在
∴异而直线BC1与DC所成角的大小为
[解法二]如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直
角坐标系.
|
所成的角为，
则
∴异面直线BC1与DC所成角的大小为
18．（本题满分12分）
证明：在复数范围内，方程
（为虚数单位）无解．
[证明]原方程化简为
设
、
，代入上述方程得
将（2）代入（1），整理得
无实数解，∴原方程在复数范围内无解.
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，点
、
分别是椭圆
长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，
．
（1）求点P的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于
，求椭圆上的点到点M的距离
的最小值．
[解]
．[解]（1）由已知可得点A（－6，0），F（4，0）
设点P的坐标是
，由已知得
由于
（2）直线AP的方程是
设点M的坐标是（m，0），则M到直线AP的距离是
，
于是
椭圆上的点
到点M的距离d有
由于
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底
（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
解：（Ⅰ）设中低价房面积形成数列
，由题意可知是等差数列，
其中
，
，则 
令
即
∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.
（Ⅱ）设新建住房面积形成数列
，由题意可知是等比数列，
其中
，
，则
，
由题意可知
，有
，
即 
．
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数
．
所以，到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．
21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
对定义域分别是
、
的函数
、
，
规定：函数
．
（1）若函数
，
，写出函数
的解析式；
（2）求问题（1）中函数的值域；
（3）若
，其中
是常数，且
，请设计一个定义域为
的函数，及一个的值，使得
，并予以证明．
解（1）
（2）当
若
其中等号当x=2时成立，
若
其中等号当x=0时成立，
∴函数
（3）[解法一]令
则
于是
[解法二]令
，
则
于是
22．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．
在直角坐标平面中，已知点
，
，
，…，
，其中是正整数．对平面上任一点
，记
为关于点
的对称点，
为关于点
的对称点，……，
为
关于点
的对称点．
（1）
求向量
的坐标；
（2）
当点在曲线
上移动时，点的轨迹是函数的图象，其中
是以3为周期的周期函数，且当
时，
，求以曲线为图象的函数在
的解析式；
对任意偶数，用表示向量
的坐标
[解]（1）设点
，A0关于点P1的对称点A1的坐标为
A1关于点P2的对称点A2的坐标为
，所以，
（2）[解法一]
的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移
4个单位得到.
因此，基线C是函数
的图象，其中
是以3为周期的周期函数，且当
[解法二]设
若
当
（3）
由于
，
