高三数学第二学期检测试卷
(理)
本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，
考试时间120分钟。
第I卷（非选择题 共60分）
注意事项： 1、考生务必将自己的姓名、考号写在规定的位置。考试结束，可只交回第II卷。
2、答第I卷时，考生把答案选出后，务必将答案写到第II卷规定位置，否则不予给分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、若不等式
的解集相同，则
等于
A．12 : 7 B．7 : 12 C．（－12 : 7） D．（－3）: 4
2、定义运算
，复数z满足
，则复数在的模为
A．
B．
C．
D．
3、将函数y=
(
)(
R)的图象上所有的点向左平行移动
个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象的解析式为
A.
(
)(R) B.(
)(R)
C.(
)(R) D.(
)(R
4、已知
，则
A.
B.
C.
D.
5、用6种不同的颜色把下图中A、B、C、D四块区域分开，
允许同一色涂不同的区域，但相邻的区域不能涂同一色，则
不同的涂法共有
A.400种 B.460种 C.480种 D.496种
6.已知
(
－ax+b)=2，则b的值为
A.0 B.4 C.－4 D.不确定
7.设
，
，则满足条件
，
的动点P的变化范围（图中阴影部分含边界）是
 |
A. B. C. D.
8.设集合M={－1，1，0}，N＝{1，2，3，4，5}, ,映射f：M→N,使对任意的x∈M,都有x+f(x)是奇数,这样的映射f的个数为
A.10 B.11 C.12 D.13
9.甲、乙、丙投篮一次命中的概率分别为
、
、
，现三人各投篮一次至少有1人命中的概率为
A.
B.
C.
D.
10．已知
展开式中常数项为1120，其中
，则展开式中各项系数的和为
A．
B．
C．1或 D．1或
11．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角的余弦值为
，则其相邻两侧面所成的二面角的余弦值是
A．
B．
C．
D．0
12.设
是椭圆
的两个焦点，
是以
为直径的圆与椭圆的一个交点，若
，则椭圆的离心率为
A.
B.
C.
D.
统一检测试卷
高三数学(理)
第II卷（非选择题，共90分）
| 题号 | 二 | 三 | 总分 | |||||
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | |||
| 得分 |
|
|
|
|
|
|
|
|
第I卷答题卡
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 总分 |
| 答案 |
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案写在横线上。
13.若曲线f(x)=x4－x在点P处切线平行于直线3x－y=0，则点P的坐标为___________.
14.已知
＝3，
＝5，且
＝-12，则
在
的方向上的投影为________
15.已知S是△ABC所在平面外一点， D是SC的中点，若
， 则
16..对于实数x、y，定义新运算x*y=ax+by+1，其中以a、b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，若3*5=15，4*7=28，则1*1=_______
三、解答题：本大题共6小题，共74分
17、(本小题满分12分)在
中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若
=(
,1),
=(
,4),且
.
（Ⅰ）求角A的度数；
（Ⅱ）当a=
，
时，求边长b和角B的大小.
18、(本小题满分12分)在某物理实验中，有两粒子a，b分别位于同一直线上A、B两点处(如图所示)，AB＝2，且它们每隔1秒必向左或向右移动1个单位，如果a粒子向左移动的概率为，b粒子向左移动的概率为
.
(1)求2秒后，a粒子在点A处的概率；
(2)求2秒后，a，b两粒子同时在点B处的概率.
19、(本小题满分12分)如图，已知三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC.
(1)求三棱锥P—ABC的体积V；
(2)作出点A到平面PBC的垂线段AE，并求AE的长；
(3)求二面角A—PC—B的大小.
20、(本小题满分12分)数列{
}的前
项和
满足：
．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）数列{}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由
21、(本小题满分13分)已知双曲线C的中心在原点，抛物线
的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点（1，
），且直线
：
与双曲线C交于A、B两点，
（I）求双曲线的方程；
（II）
为何值时
（III）是否存在实数，使A、B两点关于直线
对称（
为常数），若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
22、(本小题满分13分)已知函数g(x)=(2－x)3－a(2－x)，函数f(x)的图象与g(x)的图象关于直线x－1＝0对称.
(1)求f(x)的表达式；
(2)若f(x)在区间［1，＋∞］上是单调增函数，求实数a的取值范围；
(3)记h(x)＝f(x)+g(x)，求证：当x1，x2∈(0，2)时，h(x1)－h(x2)＜12 x1－x2
统一检测试卷
数学试题（理工类）参考解答
一选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分。
1 A 2 C 3. B 4 B 5 C 6. B 7 A 8 C 9. C 10. C 11D 12. B
二.填空题 (本大题共4小题,每小题4分,共16分)
13.
14. 
15. 
16. 
三.解答题
17 解：（Ⅰ）∵∥ ∴
………………………………….…2分
∴2［1－cos（B+C）］－（2cos2A－1）-
=0
∵cos（B+C）=－cosA，∴4cos2A－4cosA+1=0，………………………………….…….5分
∴（2cosA－1）2=0，即cosA=
又∵00<A<1800 , ∴A=60° ………………………………………………………….6分
（Ⅱ）∵S△ABC=bc×sinA, ∴bc×=,即bc=2……①…………………………….7分
∴a2=b2+c2－2bccosA=b2+c2－bc=（b+c）2－3bc=3，
∴（b+c）2=9 即 b+c=3……②………………………………………………………….9分
由①②解得
或
. ………………………………………………………………………….10分
当b=2时sinB=
=1,B=90°
当b=1时sinB==,∵b<a,B<A, ∴B=30°…………………………………….12分
18、解：(1)∵1秒后a粒子向左移动1个单位的概率为，又过1秒后a粒子回到A处的概率为1－=
，∴a粒子先向左后向右回到A处的概率为×，同理，a粒子向右后向左回到A处的概率为×，故2秒后a粒子在A处的概率为×+×=
.6分
(2)∵2秒后a粒子在B处的概率为×=，而b粒子2秒后在B处的概率为×+×=
.
∴2秒后a、b粒子同时在B处的概率为×=
19.解：(1)∵PA⊥平面ABC，PB=PC，由射影定理得，AB=AC=4.
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC.
在Rt△PAC中，可求出PC=5，则PB=BC=5.
取BC中点D，连AD.在等腰△ABC中，求出底边上的高AD=
.
∴V=·
·5··3=
. 4分
(2)连PD，则PD⊥BC，又AD⊥BC，
∴BC⊥平面PAD.又BC
平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC.
作AE⊥PD于E，则AE⊥平面PBC，AE为点A到平面PBC的垂线段.
在Rt △PAD中，由PA·AD=AE·PD，即3·=AE·
，求出AE=
.8分
(3)作AF⊥PC于F，连EF，由三垂线逆定理，得EF⊥PC.
∠AFE为二面角A—PC—B的平面角.
在Rt△PAC中，由PA·AC=PC·AF，即3·4=5·AF，求出AF=
，
∴sinAFE=
=·
=
. 12分
.20解 （1）当
时有：
解 （1）当时有：
两式相减得：
，…………………………2’
∴
，又
，∴ 
．
∴数列{
}是首项6，公比为2的等比数列．
从而
，∴
．………………………………………………6’
（2）假设数列{}中存在三项
，它们可以构成等差数列，
只能是
，………………………………………………8’
，
即
．∴
……………………………………………10’
、
、
均为正整数，
∴（*）式左边为奇数右边为偶数，不可能成立. 因此数列{}中不存在可以构成等差数列的三项．……………………
21解：（I）由题意设双曲线方程为
，
把（1，）代入得
①
……1分
又的焦点是（
，0），
故双曲线的
……2分
与①联立，消去
可得
，
∴ 
，
（不合题意舍去）
于是
，∴ 双曲线方程为
…… 4分
（II）由
消去
得
②
当
,即
（
）时，
与C有两个交点A、B
…… 6分
设A（
，
），B（
，
），
因，故
，即
，
…… 7分
由②知
，
，
代入可得
化简得
，∴ 
，
检验符合条件，故当时，
…… 9分
（III）若存在实数满足条件，则必须
…… 11分
由（2），（3）得
（4）
把代入（4）得
…… 12分
这与（1）的
矛盾，故不存在实数满足条件
…… 13分
22解：(1)设P(x，y)为函数f(x)图象上任一点，其关于x＝1的对称点P′(x′，y′)应在g(x)图象上.
∴
∴
代入g(x)表达式得f(x)= x3－ax. 4分
(2)∵f′(x)=3x2－a，且f(x)在［1，+∞)上是增函数，
∴3x2－a≥0在［1，+∞）上恒成立，∴a≤3x2∈［3，+∞）恒成立.
∴a≤3. 8分
(3)∵h(x)=f(x)+g(x)=(2－x)3－a(2－x)+x3－ax=6x2－12x+8－2a，
h(x1)－h(x2)=(6x12－12x1+8－2a)－(6x22－12x2+8－2a)
=6(x12－x22)－12(x1－x2)
=6x1－x2·x1+x2－2.
∵x1，x2∈(0，2).
∴0＜x1+x2＜4，∴－2＜x1+x2－2＜2，
即x1+x2－2＜2，∴6x1－x2·x1+x2－2＜12x1－x2，
即h(x1)－h(x2)＜12x1－x2， 13分