高考数学普通高等学校招生全国统一考试127
数学试题卷（理工农医类）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已经集合
，则
＝
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）在等差数列
中，若
是数列的的前n项和，则
的值为（ ）
（A）48 (B)54 (C)60 （D）66
（3）过坐标原点且与圆
相切的直线方程为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）对于任意的直线
与平面
，在平面内必有直线
，使与（ ）
（A）平行 （B）相交 （C）垂直 （D）互为异面直线
（5）若
的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ）
（A）-540 （B）-162 （C）162 （D）540
（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：
根据上图可得这100名学生中体重在
的学生人数是（ ）
（A）20 （B）30 （C）40 （D）50
（7）与向量
的夹角相等，且模为1的微量是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有（ ）
（A）30种 （B）90种 （C）180种 （D）270种
（9）如图所示，单位圆中
的长为
，
与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数
的图像是（ ）
（10）若
且
则
的最小值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。把答案填写在答题卡相应位置上
（11）复数
的值是
。
（12）
。
（13）已知
则
。
（14）在数列
中，若
，则该数列的通项
。
（15）设
，函数
有最大值，则不等式
的解集为
。
（16）已知变量
满足约束条件
若目标函数
（其中
）仅在点
处取得最大值，则
的取值范围为
。
三、解答题：三大题共6小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分13分）
设函数
（其中
），且
的图象在
轴右侧的第一个最高点的横坐标为
。
（I）求
的值。
（II）如果在区间
上的最小值为
，求的值。
（18）（本小题满分13分）
某大夏的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠。若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为
，用
表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：
（I）随机变量的分布列;
（II）随机变量的期望;
（19）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥
中，
底面ABCD，
为直角，
,
E、F分别为
、
中点。
（I）试证：
平面
;
（II）高
，且二面角 
的平面角大小
，求
的取值范围。
（20）（本小题满分13分）
已知函数
，其中
为常数。
（I）若
，讨论函数的单调性；
（II）若
，且
，试证：
（21）（本小题满分12分）
已知定义域为R的函数满足
（I）若
，求
;又若
，求
;
（II）设有且仅有一个实数
，使得
，求函数的解析表达式
（22）（本小题满分12分）
已知一列椭圆
。
……。若椭圆
上有一点
，使到右准线
的距离
是
与
的等差中项，其中
、
分别是的左、右焦点。
（I）试证：
;
（II）取
，并用
表示
的面积，试证：
且
普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）
数学试题卷（理工农医类）答案
一、选择题：每小题5分，满分50分。
（1）D （2）B （3）A （4）C （5）A
（6）C （7）B （8）B （9）D （10）D
二、填空题：每小题4分，满分24分。
（11）
（12）
（13）
（14）
（15）
（16）
三、解答题：满分76分
（17）（本小题13分）
（18）（本小题13分）
解：（1）的所有可能值为0，1，2，3，4，5。
由等可能性事件的概率公式得
从而，的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
（II）由（I）得的期望为
（19）（本小题13分）
（I）证：由已知
且为直角。故ABFD是矩形。从而
。又
底面ABCD，
，故由三垂线定理知
D 
中,E、F分别为PC、CD的中点，故EF//PD,从而
，由此得面BEF。
（II）连接AC交BF于G，易知G为AC的中点，连接EG，则在
中易知EG//PA。又因PA
底面ABCD，故EG底面ABCD。在底面ABCD中，过G作GHBD。垂足为H，连接EH，由三垂线定理知EHBD。从而
为二面角E-BD-C的平面角。
设
以下计算GH，考虑底面的平面图（如答（19）图2）。连结GD，因
故GH＝
.在
。而
。因此，
。由
知是锐角。故要使 
，必须
，解之得，中的取值范围为
（20）（本小题13分）
（21）题（本小题12分）
（22）（本小题12分）
证：（I）由题设及椭圆的几何性质有
，故
。设
，则右准线方程为
.因此，由题意应满足
即
解之得：
。即
从而对任意
（II）高点
的坐标为
，则由
及椭圆方程易知
因
，故
的面积为
，从而
。令
。由
得两根
从而易知函数
在
内是增函数。而在
内是减函数。
现在由题设取
则
是增数列。又易知
。故由前已证，知，且