高考数学普通高等学校招生全国统一考试数学57
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
，如果事件A、B相互独立，那么
。
柱体（棱柱、圆柱）的体积公式
其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高。
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）
设集合
，
，那么下列结论正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）
不等式
的解集为
（A）
（B）
（C）
（D）
（3） 对任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是
（A）“
”是“
”的必要条件
（B）“
”是“
”的必要条件
（C）“”是“”的充分条件
（D）“”是“”的充分条件
（4）
若平面向量
与向量
的夹角是
，且
，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）
设P是双曲线
上一点，双曲线的一条渐近线方程为
，
、
分别是双曲线的左、右焦点。若
，则
（A） 1或5 （B） 6 （C） 7 （D） 9
（6）
若函数
在区间
上的最大值是最小值的3倍，则
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）
若过定点
且斜率为
的直线与圆
在第一象限内的部分有交点，则的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）
如图，定点A和B都在平面
内，定点
，
，C是内异于A和B的动点，且
。那么，动点C在平面内的轨迹是
（A） 一条线段，但要去掉两个点 （B） 一个圆，但要去掉两个点
（C） 一个椭圆，但要去掉两个点 （D） 半圆，但要去掉两个点
（9）
函数
的反函数是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）
函数
为增函数的区间是
（A）
（B）
（C）
（D）
（11） 如图，在长方体
中，
，
，
。分别过BC、
的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为
，
，
。若
，则截面
的面积为
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）
定义在R上的函数
既是偶函数又是周期函数。若的最小正周期是
，且当
时，
，则
的值为
（A）
（B）
（C）
（D）
普通高等学校招生全国统一考试
数学（文史类）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
| 题号 | 二 | 三 | 总分 | |||||
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | |||
| 得分 | ||||||||
二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。
（13）
某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品。产品数量之比依次为
。现用分层抽样方法抽出一个容量为
的样本，样本中A种型号产品有16件。那么此样本的容量
。
（14）
已知向量
，
，若
与垂直，则实数等于
。
（15）
如果过两点
和
的直线与抛物线
没有交点，那么实数
的取值范围是
。
（16） 从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有 个。（用数字作答）
三. 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知
（1）求
的值；（2）求
的值。
（18）（本小题满分12分）
从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。
（1）求所选3人都是男生的概率；
（2）求所选3人中恰有1名女生的概率；
（3）求所选3人中至少有1名女生的概率。
（19）（本小题满分12分）
如图，在四棱锥
中，底面ABCD是正方形，侧棱
底面ABCD，
，
是PC的中点。
（1）证明
平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成的角的正切值。
（20）（本小题满分12分）
设
是一个公差为
的等差数列，它的前10项和
且
，
，
成等比数列。
（1）证明
；（2）求公差
的值和数列的通项公式。
（21）（本小题满分12分）
已知函数
是R上的奇函数，当
时取得极值
。
（1）求的单调区间和极大值；
（2）证明对任意
，
，不等式
恒成立。
（22）（本小题满分14分）
椭圆的中心是原点O，它的短轴长为
，相应于焦点
的准线
与
轴相交于点A，
，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。
（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若
，求直线PQ的方程。
2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）参考解答
一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
1. D 2. A 3. B 4. A 5. C 6. A 7. A
8. B 9. D 10. C 11. C 12. D
二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。
13. 80 14. 
15. 
16.
36
三. 解答题
17. 本小题考查两角和正切公式，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。
（1）
解：
由，有
解得
（2）
解法一：
解法二：由（1），，得
∴ 
∴ 
于是
代入得 
18. 本小题考查等可能事件的概率计算及分析和解决实际问题的能力，满分12分。
（1）解：所选3人都是男生的概率为 
（2）解：所选3人中恰有1名女生的概率为 
（3）解：所选3人中至少有1名女生的概率为
19. 本题考查直线与平面平行、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，满分12分。
方法一：
（1）证明：连结AC、AC交BD于O。连结EO
∵ 底面ABCD是正方形 ∴ 点O是AC的中点。
在
中，EO是中位线 ∴ 
而
平面EDB且
平面
，所以，平面EDB。
（2）解：作
交CD于F。连结BF，设正方形ABCD的边长为。
∵ 底面ABCD ∴ 
∴ 
F为DC的中点
∴ 
底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故
为直线EB与底面ABCD所成的角。
在
中，
∵ 
∴ 在
中 
所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为
方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设
（1）证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。依题意得
，
，
∵ 底面ABCD是正方形
∴ G是此正方形的中心，故点G的坐标为
∴ 
∴ 
这表明
而
平面且
平面EDB
∴ 平面EDB
（2）解：依题意得
，
取DC的中点
连结EF，BF
∵ 
，
，
∴ 
，
∴ 
，
∴ 底面ABCD，BF为BE在底面ABCD内的射影，故为直线EB与底面ABCD所成的角。
在中，
，
∴ 
所以，EB与底面ABCD所成的角的正切值为。
20. 本小题主要考查等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式以及等比中项等基础知识，考查运算能力和推理论证能力，满分12分。
（1）证明：因，，成等比数列，故
而是等差数列，有
，
于是 
即
化简得
（2）解：由条件和
，得到
由（1），，代入上式得
故 
，
因此，数列的通项公式为
，
。
21. 本小题主要考查函数的单调性及奇偶性，考查运用导数研究函数单调性及极值等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，满分12分。
（1）解：由奇函数的定义，应有
，
即
∴ 
因此，
由条件
为的极值，必有
，故
解得
，
因此，
，
当
时，
，故在单调区间
上是增函数
当
时，
，故在单调区间
上是减函数
当
时，，故在单调区间
上是增函数
所以，在
处取得极大值，极大值为
（2）解：由（1）知，
是减函数，且
在
上的最大值
在上的最小值
所以，对任意的，，恒有
22. 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力，满分14分。
（1）解：由题意，可设椭圆的方程为
由已知得
解得
，
所以椭圆的方程为
，离心率
（2）解：由（1）可得
，设直线PQ的方程为
，由方程组
得
依题意
，得
设
，
则 
① 
②
由直线PQ的方程得
，
于是 
③
∵ ∴ 
④
由①②③④得
，从而
所以直线PQ的方程为
或