高考数学普通高等学校招生全国统一考试数学118含答案
理科试题（必修＋选修II）
注意事项：
１．本试卷分第一部分和第二部分。第一部分为选择题，第二部分为非选择题。
2．考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号，并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。
3．所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（共60分）
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合
集合
则
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
2．复数
等于
（A）
（B）
（C）
（D）
3．
等于
（A）0 （B）
（C）
（D）
4．设函数
的图像过点
，其反函数的图像过点
，则
等于
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
5．设直线过点
其斜率为1，且与圆
相切，则
的值为
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
６．
等式
成立是
成等差数列 的
（Ａ）充分而不必要条件 （Ｂ）必要而不充分条件
（Ｃ）充分必要条件 （Ｄ）既不充分又不必要条件
7．已知双曲线
的两条渐近线的夹角为
，则双曲线的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）2
8．已知不等式
对任意正实数
恒成立，则正实数的最小值为
（Ａ）8 （Ｂ）6 （C）4 （D）2
9．已知非零向量
与
满足
且
则
为
（A）等边三角形 （B）直角三角形
（C）等腰非等边三角形 （D）三边均不相等的三角形
10．已知函数
若
则
（A）
（B）
（C）
（D）
与
的大小不能确定
11．已知平面
外不共线的三点
到的距离都相等，则正确的结论是
（A）平面ABC必不垂直于
（B）平面ABC必平行于
（C）平面ABC必与相交
（D）存在的一条中位线平行于或在内
12．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文
密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文
对应密文
例如，明文
对应密文
当接收方收到密文
时，则解密得到的明文为
（A）
（B）
（C）
（D）
第二部分（共90分）
二．填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）。
13．
的值为＿＿＿＿＿＿。
14．
展开式中
的常数项为＿＿＿＿＿（用数字作答）。
15．水平桌面上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）。在这4个球的上面放一个半径为R的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面的距离是＿＿＿＿。
16．某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有＿＿＿＿＿种（用数字作答）。
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）。
（１７）（本小题满分１２分）
已知函数
（I）求函数
的最小正周期；
（II）求使函数取得最大值的
集合。
（１８）（本小题满分１２分）
甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是
（I）现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；
（II）用
表示投篮3次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望
（１９）（本小题满分１２分）
如图，
点A在直线
上的射影为
点B在上的射影为
已知
求：
（I）直线AB分别与平面
所成角的大小；
（II）二面角
的大小。
（２０）（本小题１２分）
已知正项数列
，其前
项和
满足
且
成等比数列，求数列的通项
（21）（本小题满分为１2分）
如图，三定点
三动点D、E、M满足
（I）求动直线DE斜率的变化范围；
（II）求动点M的轨迹方程。
（22）（本小题满分１4分）
已知函数
且存在
使
（I）证明：是R上的单调增函数；
设
其中 
（II）证明：
（III）证明：
参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3．B 4．C 5．B 6．A 7．D 8．B 9．D
10．A 11．D 12．C
二、填空题
13．－ 14．594 15．3R 16．600
三、解答题
17.解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)
= 2[sin2(x－)－ cos2(x－)]+1
=2sin[2(x－)－]+1
= 2sin(2x－) +1
∴ T==π
(Ⅱ)当f(x)取最大值时, sin(2x－)=1,有 2x－ =2kπ+
即x=kπ+ (k∈Z) ∴所求x的集合为{x∈Rx= kπ+ , (k∈Z)}.
18.解: (Ⅰ)记"甲投篮1次投进"为事件A1 , "乙投篮1次投进"为事件A2 , "丙投篮1次投进"为事件A3, "3人都没有投进"为事件A . 则 P(A1)= , P(A2)= , P(A3)= ,
∴ P(A) = P()=P()·P()·P()
= [1－P(A1)] ·[1－P (A2)] ·[1－P (A3)]=(1－)(1－)(1－)=
∴3人都没有投进的概率为 .
(Ⅱ)解法一: 随机变量ξ的可能值有0,1,2,3), ξ~ B(3, ),
P(ξ=k)=C3k()k()3－k (k=0,1,2,3) , Eξ=np = 3× = .
解法二: ξ的概率分布为:
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
Eξ=0×+1×+2×+3×= .
19.解法一: (Ⅰ)如图, 连接A1B,AB1, ∵α⊥β, α∩β=l ,AA1⊥l, BB1⊥l,
∴AA1⊥β, BB1⊥α. 则∠BAB1,∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.
Rt△BB1A中, BB1= , AB=2, ∴sin∠BAB1 = = . ∴∠BAB1=45°.
Rt△AA1B中, AA1=1,AB=2, sin∠ABA1= = , ∴∠ABA1= 30°.
故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.
(Ⅱ) ∵BB1⊥α, ∴平面ABB1⊥α.在平面α内过A1作A1E⊥AB1交AB1于E,则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1F⊥AB, ∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.
在Rt△ABB1中,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=. ∴Rt△AA1B中,A1B== = . 由AA1·A1B=A1F·AB得 A1F== = ,
∴在Rt△A1EF中,sin∠A1FE = = , ∴二面角A1－AB－B1的大小为arcsin.
解法二: (Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ) 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在t∈R,使得=t , 即(x,y,z－1)=t(,1,－1), ∴点F的坐标为(t, t,1－t).要使⊥,须·=0, 即(t, t,1－t) ·(,1,－1)=0, 2t+t－(1－t)=0,解得t= , ∴点F的坐标为(,－, ), ∴=(,, ). 设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0,, ). ∴=(,－,).
又·=(,－,)·(,1,－1)= － － =0, ∴⊥, ∴∠A1FE为所求二面角的平面角.
又cos∠A1FE= = = = = ,
∴二面角A1－AB－B1的大小为arccos.
20.解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 , ∴an－an－1=5 (n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n－3.
21.解法一: 如图, (Ⅰ)设D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t, = t , 知(xD－2,yD－1)=t(－2,－2). ∴ 同理 . ∴kDE = = = 1－2t.
∴t∈[0,1] , ∴kDE∈[－1,1].
(Ⅱ) ∵=t ∴(x+2t－2,y+2t－1)=t(－2t+2t－2,2t－1+2t－1)=t(－2,4t－2)=(－2t,4t2－2t). ∴ , ∴y= , 即x2=4y. ∵t∈[0,1], x=2(1－2t)∈[－2,2].
即所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2]
解法二: (Ⅰ)同上.
(Ⅱ) 如图, =+ = + t = + t(－) = (1－t) +t,
= + = +t = +t(－) =(1－t) +t,
= += + t= +t(－)=(1－t) + t
= (1－t2) + 2(1－t)t+t2 .
设M点的坐标为(x,y),由=(2,1), =(0,－1), =(－2,1)得
消去t得x2=4y, ∵t∈[0,1], x∈[－2,2].
故所求轨迹方程为: x2=4y, x∈[－2,2]
22.解: （I）∵f '(x)=3x2－2x+ = 3(x－)2+ >0 , ∴f(x)是R上的单调增函数.
（II）∵0<x0< , 即x1<x0<y1.又f(x)是增函数, ∴f(x1)<f(x0)<f(y1).即x2<x0<y2.
又x2=f(x1)=f(0)=>0 =x1, y2=f(y1)=f()=<=y1,综上, x1<x2<x0<y2<y1.
用数学归纳法证明如下:
(1)当n=1时,上面已证明成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时有xk<xk+1<x0<yk+1<yk .
当n=k+1时,由f(x)是单调增函数,有f(xk)<f(xk+1)<f(x0)<f(yk+1)<f(yk),∴xk+1<xk+2<x0<yk+2<yk+1
由(1)(2)知对一切n=1,2,…,都有xn<xn+1<x0<yn+1<yn.
（III） = = yn2+xnyn+xn2－(yn+xn)+ ≤(yn+xn)2－(yn+xn)+
=[(yn+xn)－]2+ . 由(Ⅱ)知 0<yn+xn<1.∴－ < yn+xn－ < ,
∴ < ()2+ = .