高考数学全国普通高等学校招生统一考试125
浙江省 数学试题
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）
（1）设集合
（A） [ 0，2 ] （B） [ 1，2 ] （C） [ 0，4 ] （D） [ 1，4 ]
（2）已知 
，其中 
是实数，
是虚单位，则 
（A） 
（B） 
（C） 
（D） 
（3）已知
，
，则
（A） 
（B） 
（C） 
（D） 
（4）在平面直角坐标系中，不等式组 
， 表示的平面区域的面积是
（A） 
（B）
4
（C） 
（D） 2
（5）若双曲线 
上的点到左准线的距离是到左焦点距离的
，则 
（A） 
（B）
（C） 
（D） 
（6）函数
的值域是
（A） 
（B）
（C） 
（D）
（7）
（A） 充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件
（C） 充分而必要条件 （D） 既不充分也不必要条件
（8）若 多项式 
，则 
（A） 
（B）
（C） 
（D） 
（9）如图，
是半径为1的球的球心，点
在球面上，
两两垂直，
分别是大圆弧
的中点，
则点在该球面上的球面距离是
（A） 
（B）
（C） 
（D） 
（10）函数
满足
，则这样的函数个数共有
（A） 1个 （B） 4个 （C） 8个 （D） 10个
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
（11）设
为等差数列
的前
项和，若 
，则公差为 （用数字作答）．
（12）对
函数
的最小
值是 ．
（13） 设向量
满足 
．
若
，则 
的值是
．
的距离的比是3，则 
等于 ．
（14）
如图，正四面体
的棱长 为1，平面
过棱
，
且
，则正四面体上的所有点在平面内的
射影构成的图形面积是 ．
三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或步骤．
（15）如图，函数
的图象与
轴交于点
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）设
是图象上的最高点，
是图象
与
轴的交点，求 
的夹角．
（16） 设 
，求证：
（Ⅰ）
；
（Ⅱ）方程
在
内有两个实根．
 |
（17）如图，在四棱锥
中，底面为直角梯形，
分别为
的中点．
（Ⅰ） 求证：
；
（Ⅱ） 求
与平面
所成的角．
（18） 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，
n个白球，现从甲、乙两袋中各任取2个球．
（Ⅰ）若
，求取到的4个球全是红球的概率；
（Ⅱ）若取到的4个球中至少有2个红球的概率为
，求．
（19）
如图，椭圆 
与过点
的直线有且只有一个公共点
，且椭圆的离心率
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设
分别为椭圆的左、右焦点，
是线段
的中点．求证：
．
（20） 已知函数
，数列
的第一项
，
以后各项按如下方式取定：曲线
处
的切线与经过
两点的直线平行．（如图）
求证：（Ⅰ）
；
（Ⅱ）
．
浙江高考数学（理科）试题参考答案
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．
(1) A (2) C (3) A (4) B (5) C (6) C (7) A (8) D (9) B (10) D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
(11) 
(12) (13) 
(14) 
三、解答题：
(15) 本题主要考查三角函数的图像，已知三角函数值求角，向量夹角的计算等基础知识和基本运算能力．满分14分．
解：
（Ⅰ）因为函数图像过点，所以
, 即
．因为
, 所以
．
（Ⅱ）由函数 
及其图象，得 
，
所以 
，从而 
．
故 
．
(16) 本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识．满分14分．
证明：（Ⅰ）因为 
， 所以
，
，由条件
，消去
，
得 
．由条件，消去
，得 
， 故 
．
（Ⅱ）抛物线
的顶点坐标为
．
在 两边乘以
， 得 
． 又因为．
而 
，
所以方程在区间
内分别有一个实根．
故方程在内有两个实根．
(17) 本题主要考查空间线线、线面关系，空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力．
满分14分．
解：方法一：
（Ⅰ）因为
是
的中点，
，所以 
．
因为 
，所以 
，
从而 
．因为
，
所以 
．
（Ⅱ）取
的中点
，连结
，则
，
所以
与平面所成的角和与
平面所成的角相等．因为 ，
所以 
所成的角．
在 
中，
，
故
所成的角是
．
方法二：
如图，以
为坐标原点建立空间直角坐标系
，设 
，
（Ⅰ）因为 
所以
（Ⅱ）因为 
所以
，所以 ，
因此
的余角即是
所成的角． 因为
所以所成的角是 ．
(18) 本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同时考查逻辑思维能力和数学运用能力．满分14分．
解：（Ⅰ）记“取到的4个球全是红球”为事件．
（Ⅱ）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件
，“取到的4个球只有1个红球”为事件
记“取到的4个球全是白球”为事件
．
由题意，得 
；
；
所以 
，
化简，得 
， 解得 
，
故 
．
(19) 本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，考查解析几何的基本思想方法和综合
解题能力．满分14分．
解：（Ⅰ）过
的直线方程为 
．因为由题意得 
有唯一解，
即 
有唯一解，所以 
，
故
．
又因为 
，
所以 
，
从而得
， 故所求的椭圆方程为 
．
（Ⅱ）由（Ⅰ） 得 
， 故 
，从而 
由 
解得
， 所以 
．
因为 
．
又 
，
得 
．
因此 
(20) 本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力．
满分14分．
证明：（Ⅰ）因为
，
所以曲线 
在
处的切线斜率 
．
因为过两点的直线斜率是 
，所以 ．
（Ⅱ）
因为函数 
当
时
单调递增，
而
，所以 
，
因此
． 又因为 
， 令 
，
则 
， 因为 
， 所以 
，
因此 
，
故 ．