高考数学普通高等学校招生全国统一考试103
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3
至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1． 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．
2． 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的答案无效．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面公式
P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A
B)＝P(A)P(B)
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V＝πR2
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
P(k)＝Pk(1－P)n－k
本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
第Ⅰ卷（选择题 共30分）
一、选择题
（1）已知集合M＝｛xx＜3｝，N＝｛xlog2x＞1｝，则M∩N＝
（A）
（B）｛x0＜x＜3｝
（C）｛x1＜x＜3｝ （D）｛x2＜x＜3｝
（2）函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是
（A）2π （B）4π （C） （D）
（3）＝
（A）i
（B）－i
（C）
（D）－
(4)过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为
（A） (B) (C) (D)
(5)已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是
（A）2 （B）6 （C）4 （D）12
（6）函数y＝lnx－1(x＞0)的反函数为
（A）y＝ex＋1(x∈R) （B）y＝ex－1(x∈R)
（C）y＝ex＋1(x＞1) (D)y＝ex－1(x＞1)
（7）如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和，过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′＝
（A）2∶1 （B）3∶1
（C）3∶2 （D）4∶3
（8）函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点
对称，则f(x)的表达式为
(A)f(x)＝(x＞0) (B)f(x)＝log2(－x)(x＜0)
(C)f(x)＝－log2x(x＞0) (D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
（9）已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为
（A） (B) (C) (D)
(10)若f(sinx)＝3－cos2x，则f(cosx)＝
（A）3－cos2x （B）3－sin2x （C）3＋cos2x （D）3＋sin2x
（11）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝
（A） （B） （C） （D）
（12）函数f(x)＝的最小值为
（A）190 （B）171 （C）90 （D）45
绝密★启用前
普通高等学校招生全国统一考试数学103
第Ⅱ卷
（本卷共10小题，共90分）
注意事项：
1．考生不能将答案直接答在试卷上，必须答在答题卡上．
2．答题前，请认真阅读答题卡上的“注意事项”．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡上．
（13）在(x4＋)10的展开式中常数项是 （用数字作答）
（14）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为 ．
（15）过点（1，）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ ．
（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人．
 |
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（17）（本小题满分12分）
已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜．
（Ⅰ）若a⊥b，求θ；
（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．
（18）（本小题满分12分）
某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验．设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．
（Ⅰ）用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望；
（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品级用户拒绝的概率．
（19）（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中点．
（Ⅰ）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；
（Ⅱ）设AA1＝AC＝AB，求二面角A1－AD－C1的大小．
（20）（本小题满分12分）
设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．
（21）（本小题满分14分）
已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且＝λ（λ＞0）．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为Ｍ．
（Ⅰ）证明·为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f(λ)的表达式，并求S的最小值．
（22）（本小题满分12分）
设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…．
（Ⅰ）求a1，a2；
（Ⅱ）｛an｝的通项公式．
普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题（必修＋选修Ⅱ）参考答案和评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数—选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
⑴D ⑵D ⑶A ⑷A ⑸C ⑹B ⑺A ⑻D ⑼A ⑽C ⑾A ⑿C
二、填空题
⒀45 ⒁ ⒂ ⒃25
三、解答题
17．解：（Ⅰ）若a⊥b，则sinθ＋cosθ＝0，……………2分
由此得 tanθ＝－1(－＜θ＜)，所以 θ＝－；………………4分
（Ⅱ）由a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)得
｜a＋b｜＝＝
＝，………………10分
当sin(θ＋)＝1时，a＋b取得最大值，即当θ＝时，a＋b最大值为＋1．……12分
18．解：（Ⅰ）ξ可能的取值为0，1，2，3．
P(ξ＝0)＝·＝＝
P(ξ＝1)＝·＋·＝
P(ξ＝2)＝·＋·＝
P(ξ＝3)＝·＝． ………………8分
ξ的分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
数学期望为Eξ＝1.2．
(Ⅱ)所求的概率为
p＝P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝＋＝ ……………12分
19．解法一：
（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO∥＝C1C，又C1C∥＝B1B，所以EO∥＝DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB． ……2分
∵AB＝BC，∴BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，
∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，
∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．……6分
（Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝AB可知，A1ACC1为正方形，
∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面
ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角．
不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，
tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°．
所以二面角A1－AD－C1为60°． ………12分
解法二：
（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．
设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)．
则C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)． ……3分
＝（0，b，0），＝(0，0，2c)．
·＝0，∴ED⊥BB1．
又＝(－2a，0，2c)，
·＝0，∴ED⊥AC1， ……6分
所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线．
（Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，
＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，
·＝0，·＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A，
∴BC⊥平面A1AD．
又 E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，
＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，
·＝0，·＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，
∴ EC⊥面C1AD． ……10分
cos＜，＞＝＝，即得和的夹角为60°．
所以二面角A1－AD－C1为60°． ………12分
20．解法一：
令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， ……5分
(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有 f(x)≥ax． ……9分
(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，
又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，
即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．
综上，a的取值范围是（－∞，1]． ……12分
解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立． ……3分
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， ……6分
当x＞ ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数， ……9分
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．
由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]． ……12分
21．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ，
即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，
将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得 y1＝λ2y2 ③
解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，
抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，
即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．
解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)． ……4分
所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0
所以·为定值，其值为0． ……7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝ABFM．
FM＝＝
＝
＝＝＋．
因为AF、BF分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以
AB＝AF＋BF＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．
于是 S＝ABFM＝(＋)3，
由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．
22．解：(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，
于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a1＝．
(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
即 Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得
Sn－1Sn－2Sn＋1＝0 ①
由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝．
由①可得S3＝．
由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…． ……8分
下面用数学归纳法证明这个结论．
(i)n＝1时已知结论成立．
(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，
当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，
故n＝k＋1时结论也成立．
综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立． ……10分
于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
又n＝1时，a1＝＝，所以
｛an｝的通项公式an＝，n＝1，2，3，…． ……12分
2006高考数学试题全国II卷理科试题
本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第ＩＩ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第ＩＩ卷３至４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ｉ卷
注意事项：
１．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式
如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么
如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么
如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率是
一．选择题
（1）已知集合
，则 
(D)
（A） （B）
（C）
（D）
解析:
,用数轴表示可得答案D
考察知识点有对数函数的单调性,集合的交集 本题比较容易.
（2）函数
的最小正周期是(D)
（A）
（B）
（C）
（D）
解析: 
所以最小正周期为
,故选D
考察知识点有二倍角公式,最小正周期公式 本题比较容易.
（3）
(A)
（A）
（B）
（C） （D）
解析:
故选A
本题考察的知识点复数的运算,(乘法和除法),比较简单
（4）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(A)
（A）
（B）
（C）
（D）
解析:设球的半径为R, 过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面,由勾股定理可得一个半径为
的圆,所以
,故选A
本题主要考察截面的形状和球的表面积公式,难度中等
（5）已知
的顶点B、C在椭圆
上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是 (
C)
（A）
（B）6 （C）
（D）12
解析(数形结合)由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a,可得的周长为4a=,所以选C
本题主要考察数形结合的思想和椭圆的基本性质,难度中等
（6）函数
的反函数为(B)
（A）
（B）
（C）
（D）
解析:
所以反函数为故选B
本题主要考察反函数的求法和对数式与指数式的互化,难度中等
（7）如图，平面
平面
，
与两平面
、所成的角分别为和
。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为
、
则
(A)
（A）
（B）
（C）
（D）
解析:连接
,设AB=a,可得AB与平面所成的角为
,在
,同理可得AB与平面所成的角为
,所以
,因此在
,所以
,故选A
本题主要考察直线与平面所成的角以及线面的垂直关系,要用到勾股定理及直角三角形中的边角关系.有一定的难度
（8）函数
的图像与函数
的图像关于原点对称，则
的表达式为(D)
（A）
（B）
（C）
（D）
解析(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),所以
故选D
本题主要考察对称的性质和对数的相关性质,比较简单,但是容易把与搞混,其实
（9）已知双曲线
的一条渐近线方程为
，则双曲线的离心率为(A)
（A）
（B）
（C）
（D）
解析:双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得
,故选A
本题主要考察双曲线的渐近线方程和离心率公式,涉及a,b,c间的关系,比较简单
（10）若
则 
=(C)
（A）
（B）
（C）
（D）
解析:
所以
,因此
故选C
本题主要考察函数解析式的变换和三角函数的二倍角公式,记忆的成分较重,难度一般
（11）设
是等差数列
的前项和，若
则
(A)
（A）
（B）
（C）
（D）
解析:由等差数列的求和公式可得
且
所以
,故选A
本题主要考察等比数列的求和公式,难度一般
（12）函数
的最小值为(C)
（A）190 （B）171 （C）90 （D）45
解析:
表示数轴上一点到1,2,3…19的距离之和,可知x在1—19最中间时f(x)取最小值.即x=10时f(x)有最小值90,故选C
本题主要考察求和符号的意义和绝对值的几何意义,难度稍大,且求和符号不在高中要求范围内,只在线性回归中简单提到过.
理科数学
第ＩＩ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
本卷共2页，10小题，用黑碳素笔将答案答在答题卡上。答在试卷上的答案无效。
二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。
（13）在
的展开式中常数项为 45（用数字作答）
解析: 
要求常数项,即40-5r=0,可得r=8代入通项公式可得
本题利用二项式的通项公式(让次数为0,求出r)就可求出答案,比较简单
（14）已知的三个内角A、B、C成等差数列，且
则边BC上的中线AD的长为
解析: 由的三个内角A、B、C成等差数列可得A+C=2B而A+B+C=
可得
AD为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得
本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等
（15）过点
的直线
将圆
分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率
解析(数形结合)由图形可知点A在圆的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线
,所以
本题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系,难度中等
（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在
（元）月收入段应抽出 25 人。
解析:由直方图可得（元）月收入段共有
人
按分层抽样应抽出
人
本题主要考察直方图和分层抽样,难度一般
三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分１２分）
已知向量
（I）若
求
（II）求
的最大值。
解(1). 
当
=1时有最大值,此时
最大值为
本题主要考察以下知识点1.向量垂直转化为数量积为0 2.特殊角的三角函数值
3.三角函数的基本关系以及三角函数的有界性 4.已知向量的坐标表示求模
难度中等,计算量不大
（18）（本小题满分１２分）
某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。
（I）用
表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；
（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。
解(1.) 
所以的分布列为
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| P |
|
|
|
|
的数学期望E()=
(2)P(
)=
本题主要考察分布列的求法以及利用分布列求期望和概率,难度对于民族地区学生较大
（19）（本小题满分１２分）
如图，在直三棱柱
中，
、
分别为
、
的中点。
（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；
（II）设
求二面角
的大小。
提示:1证明与两条异面直线都垂直相交
利用等腰三角形
2 连
,由可得为等腰直角三角形,因此
在平面
内的射影为点
所以
,所以二面角为
(或
)
本题主要考察以下知识点1.异面直线的公垂线段的定义(与两条异面直线均垂直切相交)
2.直棱柱的性质(侧棱垂至于底面) 3.三角形的边的关系
4.二面角的求法(可用射影面积或者直接作出二面角) 难度对于民族地区考生较大
（20）（本小题１２分）
设函数
若对所有的
都有
成立，求实数
的取值范围。
解析:令
对g(x)求导得
令
当
时,对所有的x>0都有
,所以
上为单调增函数
又g(0)=0,所以对
即当
所以成立
当a>1时,对于
所以g(x)在
所以对于
即f(x)<ax, 所以当a>1时不一定成立
综上所述可知a的取值范围是
本题主要考察了函数的导数和利用导数判断函数的单调性,涉及分类讨论的数学思想
难度较大
（21）（本小题满分为１４分）
已知抛物线
的焦点为F，A、B是热线上的两动点，且
过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
（I）证明
为定值；
（II）设
的面积为S，写出
的表达式，并求S的最小值。
提示 F点的坐标为(0,1)设A点的坐标为
B点的坐标为
由可得
因此
过A点的切线方程为
(1)
过B点的切线方程为
(2)
解(1)( 2)构成的方程组可得点M的坐标,从而得到
=0 即为定值
2. =0可得
三角形面积
所以
当且仅当
时取等号
本题主要考察共线向量的关系,曲线的切线方程,直线的交点以及向量的数量积等知识点
涉及均值不等式,计算较复杂.难度很大
（22）（本小题满分１２分）
设数列的前项和为，且方程
有一根为
（I）求
（II）求的通项公式
提示:1 为方程的根,代入方程可得
将n=1和n=2代入上式可得
2. 求出
等,可猜想
并用数学归纳法进行证明
本题主要考察1.一般数列的通项公式 求和公式间的关系
2.方程的根的意义(根代入方程成立)
3.数学归纳法证明数列的通项公式(也可以把分开为
,可得
难道较大,不过计算较易,数列的前面一些项的关系也比较容易发现
试卷总体评价难度不算大,考察知识点不多.注重对一些基本公式以及数形结合等数学思想的考察,选择题填空题较简单,但解答题有一定的难度,保证学习一般的学生能拿到100左右的分数,但是得高分也比较困难.有较好的区分度
函数的周期性以及函数的连续性和极限等知识点没在试卷的考察范围内,新题不多.