高考数学普通高等学校招生全国统一考试104
本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ｉ卷１至２页。第Ⅱ卷３至４页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ｉ卷
注意事项：
１．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
２．每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
３．本卷共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式
如果事件Ａ、Ｂ互斥，那么球的表面积公式
如果事件Ａ、Ｂ相互独立，那么其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件Ａ在一次试验中发生的概率是Ｐ，那么其中表示球的半径
次独立重复试验中恰好发生
次的概率是
一．选择题
（1）已知向量
＝（4，2），向量
＝（
，3），且//,则＝( )
（A）9 (B)6 (C)5 (D)3
（2）已知集合
，则
( )
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）函数
的最小正周期是( )
（A）
（B）
（C）
（D）
（4）如果函数
的图像与函数
的图像关于坐标原点对称，则的表达式为( )
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）已知
的顶点B、C在椭圆
上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是( )
（A）
（B）6 （C）
（D）12
（6）已知等差数列
中，
，则前10项的和
＝( )
（A）100 (B)210 (C)380 (D)400
（7）如图，平面
平面
，
与两平面
、所成的角分别为和
。过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为
、
若AB=12,则
( )
（A）4 （B）6 （C）8 （D）9
（8）已知函数
，则
的反函数为( )
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）已知双曲线
的一条渐近线方程为
，则双曲线的离心率为( )
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）若
则
( )
（A）
（B）
（C）
（D）
（11）过点（－1，0）作抛物线
的切线，则其中一条切线为( )
（A）
（B）
（C）
（D）
（12）5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( )
（A）150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１６分，把答案填在横线上。
（13）在
的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。（用数字作答）
（14）圆
是以为半径的球
的小圆，若圆的面积
和球的表面积
的比为
，则圆心到球心的距离与球半径的比
＿＿＿＿＿。
（15）过点
的直线
将圆
分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率
（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在
（元）月收入段应抽出＿＿＿＿＿人。
三．解答题：本大题共６小题，共７４分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分１２分）
在
,求
（1）
（2）若点
（18）（本小题满分１２分）
设等比数列的前n项和为
，
（19）（本小题满分１２分）
某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品。
（I）求取6件产品中有1件产品是二等品的概率。
（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率。
（20）（本小题１２分）
如图，在直三棱柱
中，
、
分别为
、
的中点。
（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；
（II）设
求二面角
的大小
(21）（本小题满分为１４分）
设
，函数
若
的解集为A，
，求实数
的取值范围。
（22）（本小题满分１２分）
已知抛物线
的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且
过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。
（I）证明
为定值；
（II）设
的面积为S，写出
的表达式，并求S的最小值。
普通高等学校招生全国统一考试（全国II卷）
数学（文史类）参考答案
一、选择题
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| 答案 | B | D | D | D | C | B | B | B | A | C | D | A |
二、填空题
（13）45；（14）
；（15）
；（16）25
三、解答题
17、解：（1）由
由正弦定理知
（2）
由余弦定理知
（18）解：设
的公比为q，由
，所以得
……………………………………①
……………………………………②
由①、②式得
整理得
解得
所以 q＝2或q＝－2
将q＝2代入①式得
，
所以
将q＝－2代入①式得
，
所以
19解：设
表示事件“第二箱中取出i件二等品”，i＝0，1；
表示事件“第三箱中取出i件二等品”，i＝0，1，2；
（1）依题意所求的概率为
(2)解法一：所求的概率为
解法二：所求的概率为
20．解法一：
（Ⅰ）设O为AC中点，连接EO，BO，则EO∥＝C1C，又C1C∥＝B1B，所以EO∥＝DB，EOBD为平行四边形，ED∥OB． ……2分
∵AB＝BC，∴BO⊥AC，
又平面ABC⊥平面ACC1A1，BOÌ面ABC，故BO⊥平面ACC1A1，
∴ED⊥平面ACC1A1，BD⊥AC1，ED⊥CC1，
∴ED⊥BB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线．……6分
（Ⅱ）连接A1E，由AA1＝AC＝AB可知，A1ACC1为正方形，
∴A1E⊥AC1，又由ED⊥平面ACC1A1和EDÌ平面ADC1知平面
ADC1⊥平面A1ACC1，∴A1E⊥平面ADC1．作EF⊥AD，垂足为F，连接A1F，则A1F⊥AD，∠A1FE为二面角A1－AD－C1的平面角．
不妨设AA1＝2，则AC＝2，AB＝ED＝OB＝1，EF＝＝，
tan∠A1FE＝，∴∠A1FE＝60°．
所以二面角A1－AD－C1为60°． ………12分
解法二：
（Ⅰ）如图，建立直角坐标系O－xyz，其中原点O为AC的中点．
设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)．
则C(－a，0，0)，C1(－a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c)． ……3分
＝（0，b，0），＝(0，0，2c)．
·＝0，∴ED⊥BB1．
又＝(－2a，0，2c)，
·＝0，∴ED⊥AC1， ……6分
所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线．
（Ⅱ）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(－1，0，0)，A1(1，0，2)，
＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，0)，＝(0，0，2)，
·＝0，·＝0，即BC⊥AB，BC⊥AA1，又AB∩AA1＝A，
∴BC⊥平面A1AD．
又 E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(－1，0，1)，
＝(－1，0，－1)，＝(－1，0，1)，＝(0，1，0)，
·＝0，·＝0，即EC⊥AE，EC⊥ED，又AE∩ED＝E，
∴ EC⊥面C1AD． ……10分
cos＜，＞＝＝，即得和的夹角为60°．
所以二面角A1－AD－C1为60°． ………12分
（21）解：由f（x）为二次函数知
令f（x）＝0解得其两根为
由此可知
（i）当
时，
的充要条件是
，即
解得
（ii）当
时，
的充要条件是
，即
解得
综上，使
成立的a的取值范围为
22．解：(Ⅰ)由已知条件，得F(0，1)，λ＞0．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由＝λ，
即得 (－x1，1－y)＝λ(x2，y2－1)，
将①式两边平方并把y1＝x12，y2＝x22代入得 y1＝λ2y2 ③
解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有x1x2＝－λx22＝－4λy2＝－4，
抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x．
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2，
即y＝x1x－x12，y＝x2x－x22．
解出两条切线的交点M的坐标为(，)＝(，－1)． ……4分
所以·＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1)＝(x22－x12)－2(x22－x12)＝0
所以·为定值，其值为0． ……7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝ABFM．
FM＝＝
＝
＝＝＋．
因为AF、BF分别等于A、B到抛物线准线y＝－1的距离，所以
AB＝AF＋BF＝y1＋y2＋2＝λ＋＋2＝(＋)2．
于是 S＝ABFM＝(＋)3，
由＋≥2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．