高考数学普通高等学校招生全国统一考试109
数学（理科）浙江卷
本试题卷第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。全卷共4页，第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页 满分150分，考试时间120钟
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
第Ⅰ卷（共 50 分）
注意事项：
1. 答第 1 卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2. 每小题选出正确答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号填黑.
叁考正式：
如果事件 A ， B 互斥，那么
P（ A+ B ） = P( A)+ P( B)
S=
P( A+ B)= P( A)． P( B) 其中 R 表示球的半径
如果事件A在一次试验中发生的概念是p 球的体积公式V=
那么n次独立重复试验中恰好发生 其中R表示球的半径
k次的概率：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（１）
设集合
≤x≤2},B={x0≤x≤4},则A∩B=
(A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］
（２）
已知
(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2-I
(3)已知0＜a＜1，log
m＜logn＜0，则
(A)1＜n＜m (B) 1＜m＜n (C)m＜n＜1 (D) n＜m＜1
（３）
在平面直角坐标系中，不等式组
表示的平面区域的面积是
(A)
(B)
(C)
(D)
（6）函数y=sin2+4sin
x,x
的值域是
(A)［-,］
(B)［-,］
(C)［
］
(D)［
］
(7)“a＞b＞c”是“ab＜
”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件
（8）若多项式
(A)9 (B)10 (C)-9 (D)-10
（9）如图，O是半径为l的球心，点A、B、C在球面上，OA、OB、OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC的中点，则点E、F在该球面上的球面距离是
(A)
(B)
(C)
(D)
（10）函数f:1,2,3
1,2,3满足f(f(x))= f(x)，则这样的函数个数共有
(A)1个 (B)4个 (C)8个 (D)10个
第Ⅱ卷（共100分）
注意事项：
1. 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
2. 在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
（11）设S
为等差数列a,的前n项和，若S-10, S=-5,则公差为 （用数字作答）.
（12）对a,b
R,记maxa,b=
函数f（x）＝maxx+1,x-2(xR)的最小值是 .
（13）设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若｜a｜=1,则｜a｜
+｜c｜的值是
（14）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 . 
三、解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（15）如图，函数y=2sin(πxφ),x∈R,(其中0≤φ≤)的图象与y轴交于点（0，1）.
(Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，求
（16）设f(x)=3ax
,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：
(Ⅰ)a＞0且-2＜
＜-1；
(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.
（17）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.
(Ⅰ)求证：PB⊥DM; 
(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角
（18）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.两甲，乙两袋中各任取2个球.
(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；
(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为
，求n.
（19）如图，椭圆
＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，
且椭圆的离心率e=
.
(Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)设F、F
分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF的中点，求证：∠ATM=∠AFT.
(20)已知函数f(x)=x
+ x，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在
处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）
.
求证：当n
时，
(Ⅰ)x
（Ⅱ）
数学试题（理科）参考答案
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。
（1）A （2）C （3）A （4）B （5）C （6）C
（7）A （8）D （9）B （10）D
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分16分。
（11）-1 （12） （13）4 （14）
三、解答题
（15）本题主要考查三角函数的图像，已知三角函数求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。满分14分。
解：（I）因为函数图像过点
，
所以
即
因为
，所以
.
（II）由函数
及其图像，得
所以
从而
，
故
.
（16）本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。满分14分。
证明：（I）因为
，
所以
.
由条件
，消去
，得
；
由条件，消去
，得
，
.
故
.
（II）抛物线
的顶点坐标为
，
在的两边乘以
，得
.
又因为
而
所以方程
在区间
与
内分别有一实根。
故方程在内有两个实根.
（17）本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。满分14分。
解：方法一：
（I）因为
是
的中点，
，
所以
.
因为
平面
，所以
，
从而
平面
.
因为
平面，
所以
.
（II）取
的中点
，连结
、
，
则
，
所以与平面所成的角和
与平面所成的角相等.
因为平面，
所以
是与平面所成的角.
在
中，
.
故与平面所成的角是
.
方法二：
如图，以
为坐标原点建立空间直角坐标系
，设
，则
.
（I） 因为
，
所以
（II） 因为
，
所以
，
又因为，
所以平面
因此
的余角即是与平面所成的角.
因为
，
所以与平面所成的角为.
（18）本题主要考察排列组合、概率等基本知识，同时考察逻辑思维能力和数学应用能力。满分14分。
解：（I）记“取到的4个球全是红球”为事件.
（II）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件
，“取到的4个球只有1个红球”为事件
，“取到的4个球全是白球”为事件
.
由题意，得
所以
，
化简，得
解得
，或
（舍去），
故 .
（19）本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。
解：（I）过点、的直线方程为
因为由题意得 有惟一解，
即
有惟一解，
所以
（
），
故 
又因为 
即 
所以 
从而得 
故所求的椭圆方程为 
（II）由（I）得 
故
从而
由
解得
所以 
因为
又
得
因此
（20）本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力。满分14分。
证明：（I）因为
所以曲线
在
处的切线斜率
因为过
和
两点的直线斜率是
所以
.
（II）因为函数
当
时单调递增，
而
，
所以
，即
因此
又因为
令
则
因为
所以
因此
故